Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=\frac{s^{2}}{s^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{s^{2}}{s^{4}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão de F(s) é exatamente \dfrac{s^{2}}{s^{4}-1}.
  • Deve-se encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, função de t (assumir t\ge0).

Passo 2

Escolha do método e lembrete de propriedades úteis (rápido “aula” do que vou usar).
  • Método escolhido: manipulação algébrica (fatoração / decomposição) seguida de uso da linearidade da transformada de Laplace e da tabela básica de transformadas inversas. Esse método é direto aqui porque o denominador fatoriza em fatores quadráticos simples e dá lugar a expressões cujas inversas são conhecidas.
  • Propriedade chave: linearidade da transformada de Laplace. Se F(s)=A(s)+B(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{B(s)\}.
  • Transformadas padrão que usarei:
    • \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Para a=1 isso dá \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}.
    • \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}-a^{2}}. Para a=1 isso dá \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}=\dfrac{1}{s^{2}-1}.
      Explicação curta do uso: se eu conseguir escrever F(s) como combinação linear de \dfrac{1}{s^{2}+1} e \dfrac{1}{s^{2}-1} (ou múltiplos deles), já saberei as inversas.

Passo 3

Fatore o denominador e tente uma decomposição conveniente.
  • Observe que \,s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1).
  • Uma decomposição útil é notar que
\frac{s^{2}}{s^{4}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{s^{2}}{s^{2}-1}-\frac{s^{2}}{s^{2}+1}\right).
Verificação rápida (fazer a álgebra para ficar seguro): escrever o lado direito com denominador comum (s^{2}-1)(s^{2}+1)=s^{4}-1:
\frac{1}{2}\left(\frac{s^{2}(s^{2}+1)-s^{2}(s^{2}-1)}{s^{4}-1}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{s^{4}+s^{2}-s^{4}+s^{2}}{s^{4}-1}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2s^{2}}{s^{4}-1}\right)=\frac{s^{2}}{s^{4}-1}.
Portanto a igualdade está correta.

Passo 4

Simplifique cada fração para obter termos da forma 1/(s^{2}\pm1).
  • Para \dfrac{s^{2}}{s^{2}-1}: escreva s^{2}=(s^{2}-1)+1, daí
\frac{s^{2}}{s^{2}-1}=1+\frac{1}{s^{2}-1}.
  • Para \dfrac{s^{2}}{s^{2}+1}: escreva s^{2}=(s^{2}+1)-1, daí
\frac{s^{2}}{s^{2}+1}=1-\frac{1}{s^{2}+1}.
  • Substituindo essas expressões na decomposição do Passo 3:
\frac{s^{2}}{s^{4}-1}=\frac{1}{2}\Big[\big(1+\frac{1}{s^{2}-1}\big)-\big(1-\frac{1}{s^{2}+1}\big)\Big] =\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{s^{2}-1}+\frac{1}{s^{2}+1}\Big).
Note que os termos constantes 1 se cancelaram.

Passo 5

Aplique a transformada de Laplace inversa termo a termo usando a tabela:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}-1}\right\}=\operatorname{sinh} t (porque \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}=\dfrac{1}{s^{2}-1}).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t (porque \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}).
    Pela linearidade:
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sinh} t+\sin t\big),\qquad t\ge0.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sinh} t+\sin t\big)

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