Calcule a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa da função
Informações dadas:
- A expressão de
é exatamente . - Deve-se encontrar
, função de (assumir ).
Passo 2
Escolha do método e lembrete de propriedades úteis (rápido “aula” do que vou usar).
- Método escolhido: manipulação algébrica (fatoração / decomposição) seguida de uso da linearidade da transformada de Laplace e da tabela básica de transformadas inversas. Esse método é direto aqui porque o denominador fatoriza em fatores quadráticos simples e dá lugar a expressões cujas inversas são conhecidas.
- Propriedade chave: linearidade da transformada de Laplace. Se
então . - Transformadas padrão que usarei:
-
. Para isso dá . -
. Para isso dá .
Explicação curta do uso: se eu conseguir escrevercomo combinação linear de e (ou múltiplos deles), já saberei as inversas.
-
Passo 3
Fatore o denominador e tente uma decomposição conveniente.
- Observe que
. - Uma decomposição útil é notar que
Verificação rápida (fazer a álgebra para ficar seguro): escrever o lado direito com denominador comum
:
Portanto a igualdade está correta.
Passo 4
Simplifique cada fração para obter termos da forma
.
- Para
: escreva , daí
- Para
: escreva , daí
- Substituindo essas expressões na decomposição do Passo 3:
Note que os termos constantes
se cancelaram.
Passo 5
Aplique a transformada de Laplace inversa termo a termo usando a tabela:
-
(porque ). -
(porque ).
Pela linearidade: