Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=\frac{2 s^{3}+s^{2}+8 s+6}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}+4\right)}\

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede-se calcular a transformada de Laplace inversa de F(s).
  • A função dada é
F(s)=\frac{2 s^{3}+s^{2}+8 s+6}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}+4\right)}.
  • Observações úteis extraídas do enunciado:
    • O numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 4, logo a fração é própria (não é preciso fazer divisão polinomial).
    • O denominador já está fatorado como produto de quadráticos irreducíveis reais: s^{2}+1 e s^{2}+4.
  • Pedido objetivo: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, função de t (normalmente para t\ge0).

Passo 2

Breve aula rápida sobre transformadas relevantes (fórmulas que usaremos) e por que usar decomposição em frações parciais:
  • Linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{aG(s)+bH(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
  • Formulas padrão (para a>0): \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.Aqui s é a variável do domínio de Laplace e t é a variável do tempo; a é a frequência associada.
  • Estratégia: decompor F(s) em somas cujas inversas sejam combinações de \cos(at) e \sin(at). Como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis, o formato geral de cada parcela é \dfrac{A s + B}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais no formato adequado:
  • Proponho a forma
\frac{2 s^{3}+s^{2}+8 s+6}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A s+B}{s^{2}+1}+\frac{C s+D}{s^{2}+4},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Justificativa curta: para cada fator quadrático (s^{2}+a^{2}) o numerador deve ser do tipo linear A s + B.

Passo 4

Eliminar denominadores e igualar polinômios para obter um sistema linear:
  • Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+4) obtemos
2 s^{3}+s^{2}+8 s+6=(A s+B)(s^{2}+4)+(C s+D)(s^{2}+1).
  • Expandindo as duas parcelas:
(A s+B)(s^{2}+4)=A s^{3}+B s^{2}+4A s+4B,
(C s+D)(s^{2}+1)=C s^{3}+D s^{2}+C s+D.
  • Somando:
(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(4A+C)s+(4B+D).
  • Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 2 s^{3}+1\cdot s^{2}+8 s+6, obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=2,\\[4pt] B+D=1,\\[4pt] 4A+C=8,\\[4pt] 4B+D=6. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para encontrar A,B,C,D — faço passo a passo:
  • Das duas equações envolvendo A e C: A+C=2,\qquad 4A+C=8.Subtraindo a primeira da segunda: (4A+C)-(A+C)=8-2 \;\Rightarrow\; 3A=6 \;\Rightarrow\; A=2.Então C=2-A=2-2=0.
  • Das duas equações envolvendo B e D: B+D=1,\qquad 4B+D=6.Subtraindo a primeira da segunda: (4B+D)-(B+D)=6-1 \;\Rightarrow\; 3B=5 \;\Rightarrow\; B=\frac{5}{3}.Então D=1-B=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}.
  • Resumo dos valores: A=2,\quad B=\frac{5}{3},\quad C=0,\quad D=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Reescrever F(s) com os coeficientes encontrados e preparar para aplicar a transformada inversa:
  • Substituindo na decomposição:
F(s)=\frac{2s+\tfrac{5}{3}}{s^{2}+1}+\frac{0\cdot s-\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4} =\frac{2s+\tfrac{5}{3}}{s^{2}+1}-\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}.
  • Separando em parcelas simples (usando linearidade):
F(s)=\frac{2s}{s^{2}+1}+\frac{\tfrac{5}{3}}{s^{2}+1}-\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}.

Passo 7

Aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando as fórmulas padrão:
  • Para a primeira parcela, usar \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\}=\cos t. Assim \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s}{s^{2}+1}\right\}=2\cos t.
  • Para a segunda parcela, usar \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\}=\sin t (porque \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}). Assim \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5/3}{s^{2}+1}\right\}=\frac{5}{3}\sin t.
  • Para a terceira parcela, notar que s^{2}+4 corresponde a a=2. Como \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}, segue que \dfrac{1}{s^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\sin(2t). Portanto \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{2/3}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=-\frac{1}{3}\sin(2t).
  • Somando as parcelas inversas (pela linearidade) obtemos a função tempo: f(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t),geralmente válida para t\ge0.

Resposta

f(t)=2\cos t+\dfrac{5}{3}\sin t-\dfrac{1}{3}\sin(2t)

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