Formulas padrão (para a>0):\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.Aqui s é a variável do domínio de Laplace e t é a variável do tempo; a é a frequência associada.
Estratégia: decompor F(s) em somas cujas inversas sejam combinações de \cos(at) e \sin(at). Como os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis, o formato geral de cada parcela é \dfrac{A s + B}{s^{2}+a^{2}}.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais no formato adequado:
Resolver o sistema para encontrar A,B,C,D — faço passo a passo:
Das duas equações envolvendo A e C:A+C=2,\qquad 4A+C=8.Subtraindo a primeira da segunda:(4A+C)-(A+C)=8-2 \;\Rightarrow\; 3A=6 \;\Rightarrow\; A=2.Então C=2-A=2-2=0.
Das duas equações envolvendo B e D:B+D=1,\qquad 4B+D=6.Subtraindo a primeira da segunda:(4B+D)-(B+D)=6-1 \;\Rightarrow\; 3B=5 \;\Rightarrow\; B=\frac{5}{3}.Então D=1-B=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}.
Resumo dos valores:A=2,\quad B=\frac{5}{3},\quad C=0,\quad D=-\frac{2}{3}.
Passo 6
Reescrever F(s) com os coeficientes encontrados e preparar para aplicar a transformada inversa:
Aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando as fórmulas padrão:
Para a primeira parcela, usar \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\}=\cos t. Assim\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s}{s^{2}+1}\right\}=2\cos t.
Para a segunda parcela, usar \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\}=\sin t (porque \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}). Assim\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5/3}{s^{2}+1}\right\}=\frac{5}{3}\sin t.
Para a terceira parcela, notar que s^{2}+4 corresponde a a=2. Como \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}, segue que \dfrac{1}{s^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\sin(2t). Portanto\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{2/3}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=-\frac{1}{3}\sin(2t).
Somando as parcelas inversas (pela linearidade) obtemos a função tempo:f(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t),geralmente válida para t\ge0.