Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $. O objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como resolver a equação resultante para encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde $ Y(s) $ é a transformada de Laplace de $ y(t) $.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação $ y’’ - y’ - 3y = 0 $:
Substituindo as expressões das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm $ Y(s) $ e os constantes:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 6
Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de $ Y(s) $. Primeiro, fatoramos o denominador:
As raízes dessa equação quadrática são:
Mas, para facilitar, vamos decompor a fração em frações parciais.
Passo 7
Vamos expressar $ Y(s) $ como soma de frações parciais:
Assumindo que $ \frac{s - 2}{(s - 4)(s + 3)} = \frac{A}{s - 4} + \frac{B}{s + 3} $, encontramos $ A $ e $ B $:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 4)(s + 3) $:
Vamos escolher valores de $ s $ para resolver:
Para $ s = 4 $:
Para $ s = -3 $:
Passo 8
Agora, substituímos $ A $ e $ B $ na expressão de $ Y(s) $:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Resposta
c.