Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Y^prime prime-y^prime-3 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=-1
Escolha uma opção:
a. 1 / 7 e^((4 t))+2 / 7 e^(-3 t)
b. 2 / 7 e^((-3 t))+5 / 7 e^( 4 t)
c. 2 / 7 e^((4 t))+5 / 7 e^(-3 t)
d. 2 / 7 e^((t))+5 / 7 e^(-t)
e. 2 / 5 e^((4 t))+1 / 5 e^(3 t)

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' - 3y = 0
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $. O objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como resolver a equação resultante para encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde $ Y(s) $ é a transformada de Laplace de $ y(t) $.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação $ y’’ - y’ - 3y = 0 $:
y'' - y' - 3y = 0
Substituindo as expressões das derivadas:
Ly'' - Ly' - 3Ly = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = -1

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm $ Y(s) $ e os constantes:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 - s - 3) Y(s) + (-s + 2) = 0

Passo 6

Para encontrar $ y(t) $, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de $ Y(s) $. Primeiro, fatoramos o denominador:
y(t)
As raízes dessa equação quadrática são:
Y(s)
Mas, para facilitar, vamos decompor a fração em frações parciais.

Passo 7

Vamos expressar $ Y(s) $ como soma de frações parciais:
Y(s)
Assumindo que $ \frac{s - 2}{(s - 4)(s + 3)} = \frac{A}{s - 4} + \frac{B}{s + 3} $, encontramos $ A $ e $ B $:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 4)(s + 3) $:
Y(s) = s - 2(s - 4)(s + 3)
Vamos escolher valores de $ s $ para resolver:
Para $ s = 4 $:
s - 2(s - 4)(s + 3) = As - 4 + Bs + 3
Para $ s = -3 $:
A

Passo 8

Agora, substituímos $ A $ e $ B $ na expressão de $ Y(s) $:
A
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
B

Resposta

c. 27 e^4 t + 57 e^-3 t

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