Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O domínio de integração é o retângulo
. - A função integranda é
. - A ordem de integração está escrita como primeiro
(integra-se em de a ) e depois (integra-se em de a ).
Passo 2
Estratégia e conceito usado (explicadinho): como a função
é contínua no retângulo, podemos usar a integração iterada (teorema de Fubini) e calcular primeiro a integral interna em
para cada
fixo, e depois integrar o resultado em
.
Regras básicas que vou usar:
- A integral é linear:
. - Ao integrar em
, é tratado como constante. - Fórmula de potência:
para . - Integral de constante:
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Integro termo a termo, lembrando que
é constante neste passo:
-
. -
(porque é constante). -
.
Portanto um antiderivado em
é
Passo 4
Avaliar a primitiva entre
e
:
Simplificando:
Ou seja, depois de integrar em
ficamos com a integral em
:
Passo 5
Agora integro em
. Uso as mesmas regras (linearidade e fórmula de potência):
-
. -
.
Logo um antiderivado é
Avalio nos limites
e
:
Passo 6
Simplifico o resultado final:
Esse é o valor da integral dupla pedida.