1. \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(2-x^{2}-y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(2 - x^{2} - y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
  • A função integranda é \;2 - x^{2} - y^{2}\;.
  • A ordem de integração está escrita como primeiro dy (integra-se em y de 0 a 1) e depois dx (integra-se em x de 0 a 1).

Passo 2

Estratégia e conceito usado (explicadinho): como a função \;2 - x^{2} - y^{2}\; é contínua no retângulo, podemos usar a integração iterada (teorema de Fubini) e calcular primeiro a integral interna em y para cada x fixo, e depois integrar o resultado em x.
Regras básicas que vou usar:
  • A integral é linear: \int (a+b+c)\,dy = \int a\,dy + \int b\,dy + \int c\,dy.
  • Ao integrar em y, x é tratado como constante.
  • Fórmula de potência: \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Integral de constante: \displaystyle \int C\,dy = C y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1}\left(2 - x^{2} - y^{2}\right)\,dy.
Integro termo a termo, lembrando que x é constante neste passo:
  • \displaystyle \int 2\,dy = 2y.
  • \displaystyle \int (-x^{2})\,dy = -x^{2}y (porque x^{2} é constante).
  • \displaystyle \int (-y^{2})\,dy = -\frac{y^{3}}{3}.
Portanto um antiderivado em y é
2y - x^{2}y - \frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliar a primitiva entre y=0 e y=1:
\left[2y - x^{2}y - \frac{y^{3}}{3}\right]_{y=0}^{y=1} = \left(2\cdot1 - x^{2}\cdot1 - \frac{1^{3}}{3}\right) - \left(0\right).
Simplificando:
2 - x^{2} - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - x^{2} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} - x^{2}.
Ou seja, depois de integrar em y ficamos com a integral em x:
\int_{0}^{1}\left(\frac{5}{3} - x^{2}\right)\,dx.

Passo 5

Agora integro em x. Uso as mesmas regras (linearidade e fórmula de potência):
  • \displaystyle \int \frac{5}{3}\,dx = \frac{5}{3}x.
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Logo um antiderivado é
\frac{5}{3}x - \frac{x^{3}}{3}.
Avalio nos limites x=0 e x=1:
\left[\frac{5}{3}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{5}{3}\cdot1 - \frac{1^{3}}{3}\right) - 0.

Passo 6

Simplifico o resultado final:
\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Esse é o valor da integral dupla pedida.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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