Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
Transtormada da Derivada
Transtormada da Derivada
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando envolvem condições iniciais. Precisamos lembrar como aplicar a transformada nas derivadas e lidar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função $ y(t) $ é denotada por $ Y(s) $. Vamos transformar cada termo:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das transformadas das derivadas:
Substituindo as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação transformada:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos transformar o lado direito. Lembrando que:
Então:
Portanto, o lado direito fica:
Passo 6
Voltando à equação transformada:
Vamos isolar $ Y(s) $:
Então:
Passo 7
Simplificaremos o numerador. Primeiro, colocamos tudo sobre um denominador comum, que seria $ (s - 3)(s + 1) $:
No entanto, para simplificar o processo, vamos decompor a fração $ Y(s) $ em frações parciais depois de rearranjar os termos.
Passo 8
Vamos reescrever a equação para facilitar a decomposição:
Podemos fatorar o denominador $ s^2 - 4s = s(s - 4) $, então:
Passo 9
Agora, vamos decompor cada termo usando frações parciais.
Para o primeiro termo:
Resolvendo para A, B e C.
Seguindo o mesmo processo para os outros termos, obteremos as constantes necessárias para a inversa da Transformada de Laplace.
Passo 10
Após encontrar todas as constantes, somamos as frações parciais e encontramos $ Y(s) $ de forma simplificada.
Então, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo individualmente para obter a solução $ y(t) $ no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial dada, utilizando a Transformada de Laplace, é: