Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 2y = e^t, \quad y(0)=0,\;y'(0)=0
O conteúdo é uso da transformada de Laplace para resolver equações diferenciais lineares com condições iniciais. Vamos transformar ambos os lados, resolver para Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e depois inverter.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal L\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0), \quad \mathcal L\{y'\} = s\,Y(s) - y(0), \quad \mathcal L\{e^t\} = \frac1{s-1}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s) + 2\bigl(sY(s)\bigr) + 2Y(s) = \frac1{s-1}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo:
Y(s)\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr) = \frac1{s-1},
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Y(s) = \frac{1}{(s-1)\,(s^2+2s+2)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais. Queremos
\frac{1}{(s-1)\,(s^2+2s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{Bs + C}{s^2+2s+2}.
Multiplicando por (s-1)(s^2+2s+2) e igualando coeficientes, achamos
A = \tfrac15,\quad B = -\tfrac15,\quad C = -\tfrac35.
Logo
Y(s) = \frac{1/5}{s-1} + \frac{-\tfrac15 s - \tfrac35}{s^2+2s+2}.
Reescrevendo o segundo termo usando s^2+2s+2=(s+1)^2+1 e numerador -\tfrac15s -\tfrac35=-\tfrac15(s+1)-\tfrac25, obtemos
Y(s) = \frac{1}{5}\,\frac1{s-1} -\frac{1}{5}\,\frac{s+1}{(s+1)^2+1} -\frac{2}{5}\,\frac{1}{(s+1)^2+1}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac1{s-a}\Bigr\} = e^{at}, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{s+a}{(s+a)^2+1}\Bigr\} = e^{-t}\cos t, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+a)^2+1}\Bigr\} = e^{-t}\sin t.
Portanto
y(t) = \frac{1}{5}e^{t} - \frac{1}{5}\,e^{-t}\cos t - \frac{2}{5}\,e^{-t}\sin t.

Resposta

y(t) = \frac{1}{5}e^{t} - \frac{1}{5}e^{-t}\cos t - \frac{2}{5}e^{-t}\sin t.

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