Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime}-y=2 \cos 5 t, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t)-y(t)=2\cos(5t),\quad y(0)=0
usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve transformar a EDO em função de Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, resolver algebricamente para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa. Também precisaremos usar frações parciais e saber que \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{\cos(5t)\}=\tfrac{s}{s^2+25}.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t)-y(t)=2\cos(5t)
obtemos
\mathcal{L}\{y'\}-\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{2\cos(5t)\} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(sY(s)-y(0)\bigr)-Y(s) =2\;\frac{s}{s^2+25}.
Como y(0)=0, isso vira
(s-1)\,Y(s)=\frac{2s}{s^2+25}.

Passo 3

Isolando Y(s) temos
Y(s)=\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)}.
Vamos decompor em frações parciais no formato
\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^2+25}.
Multiplicando por (s-1)(s^2+25)
2s = A\,(s^2+25)+(Bs+C)(s-1).

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
A\,s^2+25A + B\,s^2 - B\,s + C\,s - C =(A+B)\,s^2 + (C-B)\,s + (25A - C).
Igualando coeficientes a 2s\) (ou seja, \(0\,s^2+2\,s+0\)) obtém-se o sistema \[\begin{cases} A+B=0,\\\ C-B=2,\\\\ 25A - C=0. \end{cases}
Daqui vem A=\tfrac1{13}\], \(B=-\tfrac1{13}, C=\tfrac{25}{13}. Logo
Y(s) =\frac{1/13}{s-1} -\frac{1/13\,s}{s^2+25} +\frac{25/13}{s^2+25}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\}=e^t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s}{s^2+25}\Bigr\}=\cos(5t), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+25}\Bigr\}=\tfrac{1}{5}\sin(5t).
Portanto
y(t) =\frac{1}{13}e^t -\frac{1}{13}\cos(5t) +\frac{25}{13}\cdot\frac{1}{5}\sin(5t) =\frac{1}{13}e^t-\frac{1}{13}\cos(5t)+\frac{5}{13}\sin(5t).

Resposta

y(t)=\frac{1}{13}e^t-\frac{1}{13}\cos(5t)+\frac{5}{13}\sin(5t).

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