Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(b) y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{4 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais usando transformada de Laplace. O enunciado dá:
y'' - 6y' + 9y = t^{2} e^{4t},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,y'', \,y' e \,y são a segunda derivada, a primeira derivada e a própria função desconhecida y(t).
As condições iniciais são \,y(0)=1 e \,y'(0)=1.
O termo forçante (lado direito) é \,t^{2} e^{4t}.

Passo 2

Breve revisão (aula curta) sobre a transformada de Laplace e fórmulas que vamos usar:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedades importantes (derivadas):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformada de uma função do tipo t^{n} e^{a t}:
\mathcal{L}\{t^{n} e^{a t}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
No nosso caso, usaremos n=2 e a=4, então
\mathcal{L}\{t^{2} e^{4t}\}(s)=\frac{2}{(s-4)^{3}}.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial toda, usando as fórmulas das derivadas e a transformada do lado direito.
Transformando cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{-6y'\}=-6\big(sY(s)-y(0)\big),
\mathcal{L}\{9y\}=9Y(s),
\mathcal{L}\{t^{2} e^{4t}\}=\frac{2}{(s-4)^{3}}.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=1 e somando os termos, obtemos:
\big(s^{2}Y(s)-s-1\big)-6\big(sY(s)-1\big)+9Y(s)=\frac{2}{(s-4)^{3}}.

Passo 4

Agora simplificamos a equação para isolar Y(s). Agrupando os termos em Y(s) e os termos constantes:
Coeficiente de Y(s):
s^{2}-6s+9=(s-3)^{2}.
Termos constantes (vindos das condições iniciais):
(-s-1)+6 = -s+5.
Portanto a equação transformada fica:
(s-3)^{2} Y(s) + (-s+5) = \frac{2}{(s-4)^{3}}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{2}{(s-4)^{3}} + s - 5}{(s-3)^{2}}.

Passo 5

Separe Y(s) em partes mais manejáveis:
Y(s)=\frac{s-5}{(s-3)^{2}}+\frac{2}{(s-4)^{3}(s-3)^{2}}.
A primeira parcela \dfrac{s-5}{(s-3)^{2}} é simples de decompor em termos conhecidos:
procuramos constantes C e D tais que
\frac{s-5}{(s-3)^{2}}=\frac{C}{s-3}+\frac{D}{(s-3)^{2}}.
Multiplicando por (s-3)^{2} obtemos s-5=C(s-3)+D. Igualando coeficientes, C=1 e D=-2. Logo
\frac{s-5}{(s-3)^{2} }=\frac{1}{s-3}-\frac{2}{(s-3)^{2}}.

Passo 6

A parte difícil é decompor a fração
\frac{2}{(s-4)^{3}(s-3)^{2}}.
Vamos escrever em frações parciais na forma
\frac{2}{(s-4)^{3}(s-3)^{2}}=\frac{A_{1}}{s-4}+\frac{A_{2}}{(s-4)^{2}}+\frac{A_{3}}{(s-4)^{3}}+\frac{B_{1}}{s-3}+\frac{B_{2}}{(s-3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s-4)^{3}(s-3)^{2} obtemos a identidade polinomial
2=A_{1}(s-4)^{2}(s-3)^{2}+A_{2}(s-4)(s-3)^{2}+A_{3}(s-3)^{2}+B_{1}(s-4)^{3}(s-3)+B_{2}(s-4)^{3}.
Usamos valores especiais e comparação de coeficientes para achar as constantes:
  • Colocando s=4 (anula todos os termos exceto o de A_{3}):
2=A_{3}\cdot(4-3)^{2}\Rightarrow A_{3}=2.
  • Colocando s=3 (anula todos os termos exceto o de B_{2}):
2=B_{2}\cdot(3-4)^{3}\Rightarrow 2=B_{2}(-1)^{3}\Rightarrow B_{2}=-2.
Para os demais coeficientes, expandimos os polinômios e igualamos coeficientes de potências de s. As expansões úteis são:
(s-4)^{2}(s-3)^{2}=s^{4}-14s^{3}+73s^{2}-168s+144,
(s-4)(s-3)^{2}=s^{3}-10s^{2}+33s-36,
(s-3)^{2}=s^{2}-6s+9,
(s-4)^{3}(s-3)=s^{4}-15s^{3}+84s^{2}-208s+192,
(s-4)^{3}=s^{3}-12s^{2}+48s-64.
Substituindo essas expressões e A_{3}=2, B_{2}=-2 na identidade e igualando coeficientes de s^{4},s^{3},s^{2},s,\, constante, obtemos um sistema linear que resolve para A_{1},A_{2},B_{1}. Fazendo as contas (mostrando os passos de comparação e soma) chega-se a:
A_{1}=6,\quad A_{2}=-4,\quad A_{3}=2,\quad B_{1}=-6,\quad B_{2}=-2.
Portanto a decomposição parcial é
\frac{2}{(s-4)^{3}(s-3)^{2}}=\frac{6}{s-4}-\frac{4}{(s-4)^{2}}+\frac{2}{(s-4)^{3}}-\frac{6}{s-3}-\frac{2}{(s-3)^{2}}.

Passo 7

Juntando a parcela já decomposta da etapa anterior com esta decomposição, temos para Y(s):
a primeira parcela deu
\frac{s-5}{(s-3)^{2}}=\frac{1}{s-3}-\frac{2}{(s-3)^{2}},
e a segunda parcela é a fração parcial encontrada. Somando termos semelhantes em 1/(s-3) e 1/(s-3)^{2} obtemos
Y(s)=\frac{6}{s-4}-\frac{4}{(s-4)^{2}}+\frac{2}{(s-4)^{3}}-\frac{5}{s-3}-\frac{4}{(s-3)^{2}}.

Passo 8

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando as fórmulas de inversão:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2} e^{at}.
Aplicando a inversa em cada termo de Y(s):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{6}{s-4}\right\}=6 e^{4t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{4}{(s-4)^{2}}\right\}=-4 t e^{4t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s-4)^{3}}\right\}=2\cdot\frac{t^{2}}{2} e^{4t}=t^{2} e^{4t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{5}{s-3}\right\}=-5 e^{3t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{4}{(s-3)^{2}}\right\}=-4 t e^{3t}.
Somando todos os termos, obtemos a solução y(t).

Passo 9

Escrevendo a solução final (simplificando um pouco):
y(t)=e^{4t}\big(t^{2}-4t+6\big)-e^{3t}\big(5+4t\big).
Como verificação rápida (útil na prova): em t=0 temos y(0)=1 e derivando e avaliando em 0 obtemos y'(0)=1, portanto as condições iniciais batem.

Resposta

y(t)=e^{4t}\big(t^{2}-4t+6\big)-e^{3t}\big(5+4t\big)

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