Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(b)
(b)
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais usando transformada de Laplace. O enunciado dá:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
e
são a segunda derivada, a primeira derivada e a própria função desconhecida
.
As condições iniciais são e
.
O termo forçante (lado direito) é .
As condições iniciais são
O termo forçante (lado direito) é
Passo 2
Breve revisão (aula curta) sobre a transformada de Laplace e fórmulas que vamos usar:
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável complexa da transformada.
- Propriedades importantes (derivadas):
onde
.
- Transformada de uma função do tipo
:
No nosso caso, usaremos
e
, então
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial toda, usando as fórmulas das derivadas e a transformada do lado direito.
Transformando cada termo:
Substituindo
e
e somando os termos, obtemos:
Passo 4
Agora simplificamos a equação para isolar
. Agrupando os termos em
e os termos constantes:
Coeficiente de
:
Termos constantes (vindos das condições iniciais):
Portanto a equação transformada fica:
Isolando
:
Passo 5
Separe
em partes mais manejáveis:
A primeira parcela
é simples de decompor em termos conhecidos:
procuramos constantes e
tais que
procuramos constantes
Multiplicando por
obtemos
. Igualando coeficientes,
e
. Logo
Passo 6
A parte difícil é decompor a fração
Vamos escrever em frações parciais na forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Usamos valores especiais e comparação de coeficientes para achar as constantes:
- Colocando
(anula todos os termos exceto o de ):
- Colocando
(anula todos os termos exceto o de ):
Para os demais coeficientes, expandimos os polinômios e igualamos coeficientes de potências de
. As expansões úteis são:
Substituindo essas expressões e
,
na identidade e igualando coeficientes de
constante, obtemos um sistema linear que resolve para
. Fazendo as contas (mostrando os passos de comparação e soma) chega-se a:
Portanto a decomposição parcial é
Passo 7
Juntando a parcela já decomposta da etapa anterior com esta decomposição, temos para
:
a primeira parcela deu
a primeira parcela deu
e a segunda parcela é a fração parcial encontrada. Somando termos semelhantes em
e
obtemos
Passo 8
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando as fórmulas de inversão:
Aplicando a inversa em cada termo de
:
Somando todos os termos, obtemos a solução
.
Passo 9
Escrevendo a solução final (simplificando um pouco):
Como verificação rápida (útil na prova): em
temos
e derivando e avaliando em
obtemos
, portanto as condições iniciais batem.