Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Dados importantes listados:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição e propriedades que vou aplicar (explico como e por quê):
onde
é a variável da transformada e
é a função do tempo
. Essa transformada transforma derivadas em expressões algébricas envolvendo
e os valores iniciais, o que facilita a resolução de EDOs com condições iniciais.
Propriedades das derivadas que usaremos (obtidas por integração por partes; explico brevemente a origem da primeira):
onde
. A ideia é: aplicar
à EDO transforma-a numa equação algébrica em
, que resolvemos e depois invertimos a transformada para obter
.
Também uso a transformada conhecida
No nosso caso
, então
.
Passo 3
Aplico
nos dois lados da EDO:
Substituindo as fórmulas das derivadas e a transformada do cosseno, e usando
e
, obtenho
Agora insiro os valores iniciais:
Simplificando,
Passo 4
Isolo
:
Logo
A primeira parcela já tem aspecto de transformada de um cosseno (pois
é
). A segunda parcela precisa ser decomposta para invertê-la.
Passo 5
Vou decompor a segunda parcela por frações parciais. Note que o numerador é
(uma função ímpar em
), e os denominadores são quadráticos simétricos, então é natural tentar escrever
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
(identidade de polinômios válida), obtemos
Reagrupando:
Comparando coeficientes (coeficiente de
deve ser zero e o termo constante deve ser 1):
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Então
.
Portanto
Passo 6
Substituo essa decomposição em
:
Agrupando as parcelas com
:
Calculo
. Assim
Agora uso a inversa conhecida
. Aplicando a inversa:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (boa prática na prova):
As condições iniciais são satisfeitas. Podemos confiar na solução.