Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(c) y^{\prime \prime}+16 y=\cos 6 t, y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 16y = \cos 6t,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
Dados importantes listados:
\text{Equação diferencial: } y'' + 16y = \cos 6t.çã
\text{Condições iniciais: } y(0)=2,\quad y'(0)=0.çõ
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição e propriedades que vou aplicar (explico como e por quê):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável da transformada e f é a função do tempo t. Essa transformada transforma derivadas em expressões algébricas envolvendo s e os valores iniciais, o que facilita a resolução de EDOs com condições iniciais.
Propriedades das derivadas que usaremos (obtidas por integração por partes; explico brevemente a origem da primeira):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). A ideia é: aplicar \mathcal{L} à EDO transforma-a numa equação algébrica em Y(s), que resolvemos e depois invertimos a transformada para obter y(t).
Também uso a transformada conhecida
\mathcal{L}\{\cos at\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
No nosso caso a=6, então \mathcal{L}\{\cos 6t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+36}.

Passo 3

Aplico \mathcal{L} nos dois lados da EDO:
\mathcal{L}\{y''\}(s) + 16\,\mathcal{L}\{y\}(s) = \mathcal{L}\{\cos 6t\}(s).
Substituindo as fórmulas das derivadas e a transformada do cosseno, e usando y(0)=2 e y'(0)=0, obtenho
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + 16Y(s) = \frac{s}{s^{2}+36}.
Agora insiro os valores iniciais:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 2 - 0\bigr) + 16Y(s) = \frac{s}{s^{2}+36}.
Simplificando,
\bigl(s^{2}+16\bigr)Y(s) - 2s = \frac{s}{s^{2}+36}.

Passo 4

Isolo Y(s):
\bigl(s^{2}+16\bigr)Y(s) = 2s + \frac{s}{s^{2}+36}.
Logo
Y(s)=\frac{2s}{s^{2}+16} + \frac{s}{(s^{2}+16)(s^{2}+36)}.
A primeira parcela já tem aspecto de transformada de um cosseno (pois \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} é \mathcal{L}\{\cos at\}). A segunda parcela precisa ser decomposta para invertê-la.

Passo 5

Vou decompor a segunda parcela por frações parciais. Note que o numerador é s (uma função ímpar em s), e os denominadores são quadráticos simétricos, então é natural tentar escrever
\frac{s}{(s^{2}+16)(s^{2}+36)} = s\left(\frac{A}{s^{2}+16} + \frac{B}{s^{2}+36}\right).
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+16)(s^{2}+36) e dividindo por s (identidade de polinômios válida), obtemos
1 = A(s^{2}+36) + B(s^{2}+16).
Reagrupando:
1 = (A+B)s^{2} + (36A+16B).
Comparando coeficientes (coeficiente de s^{2} deve ser zero e o termo constante deve ser 1):
A+B=0,
36A+16B=1.
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
36A + 16(-A) = 20A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{20}.
Então B=-\dfrac{1}{20}.
Portanto
\frac{s}{(s^{2}+16)(s^{2}+36)} = \frac{1}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+16} - \frac{1}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+36}.

Passo 6

Substituo essa decomposição em Y(s):
Y(s)=\frac{2s}{s^{2}+16} + \frac{1}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+16} - \frac{1}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+36}.
Agrupando as parcelas com \dfrac{s}{s^{2}+16}:
Y(s)=\left(2+\frac{1}{20}\right)\frac{s}{s^{2}+16} - \frac{1}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+36}.
Calculo 2+\dfrac{1}{20}=\dfrac{40}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{41}{20}. Assim
Y(s)=\frac{41}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+16} - \frac{1}{20}\cdot\frac{s}{s^{2}+36}.
Agora uso a inversa conhecida \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos at. Aplicando a inversa:
y(t)=\frac{41}{20}\cos 4t - \frac{1}{20}\cos 6t.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (boa prática na prova):
y(0)=\frac{41}{20}\cdot 1 - \frac{1}{20}\cdot 1 = \frac{40}{20}=2,
y'(t) = -\frac{41}{20}\cdot 4\sin 4t + \frac{1}{20}\cdot 6\sin 6t \quad\Rightarrow\quad y'(0)=0.
As condições iniciais são satisfeitas. Podemos confiar na solução.

Resposta

y(t)=\frac{41}{20}\cos 4t - \frac{1}{20}\cos 6t

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