Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0, y(1)=2, y^prime(1)=4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares de Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, precisamos utilizar técnicas específicas que aproveitam a estrutura dos coeficientes que dependem de .

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial:
x^2 y'' + x y' + y = 0
Essa é uma equação de Cauchy-Euler porque os coeficientes de e são e , respectivamente, que são potências de .

Passo 3

A estratégia para resolver uma equação de Cauchy-Euler é assumir uma solução da forma , onde é um número que vamos determinar. Essa suposição simplifica a equação.

Passo 4

Vamos derivar y = x^m para encontrar y' = m x^m-1 e y'' = m (m-1) x^m-2 :
Agora, substituímos , e na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação:
x^2 cdot m (m-1) x^m-2 + x cdot m x^m-1 + x^m = 0
Simplificando:
m (m-1) x^m + m x^m + x^m = 0
Fatorando x^m [m(m-1) + m + 1] = 0 :

Passo 6

Como m(m-1) + m + 1 = 0 nunca é zero para m^2 - m + m + 1 = 0 , a parte em colchetes deve ser zero:
m^2 + 1 = 0
Simplificando:
m^2 = -1
m = pm i
Aqui, é um número imaginário, o que indica que as soluções envolvem funções trigonométricas.

Passo 7

Quando os valores de y(x) = x^alpha [C1 cos(beta ln x) + C2 sin(beta ln x)] são complexos, ou seja, y(x) = C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x) , a solução geral da equação é:
No nosso caso, e , então:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes y(1) = 2 e y'(1) = 4 . As condições são:

Passo 9

Primeiro, calculamos y(1) = C1 cos(ln 1) + C2 sin(ln 1) :
y(1) = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 = C1 = 2
Sabemos que , então:
Então, .

Passo 10

Agora, precisamos encontrar y'(x) = C1 ( -sin(ln x)x ) + C2 ( cos(ln x)x ) para aplicar a segunda condição. Derivando y'(x) = -C1 sin(ln x) + C2 cos(ln x)x :
Simplificando:

Passo 11

Aplicamos y'(1) = -C1 sin(ln 1) + C2 cos(ln 1)1 = -C1 cdot 0 + C2 cdot 1 = C2 = 4 :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
y(x) = 2 cos(ln x) + 4 sin(ln x)

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