Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares de Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, precisamos utilizar técnicas específicas que aproveitam a estrutura dos coeficientes que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler porque os coeficientes de
e
são
e
, respectivamente, que são potências de
.
Passo 3
A estratégia para resolver uma equação de Cauchy-Euler é assumir uma solução da forma
, onde
é um número que vamos determinar. Essa suposição simplifica a equação.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 6
Como
nunca é zero para
, a parte em colchetes deve ser zero:
Simplificando:
Aqui,
é um número imaginário, o que indica que as soluções envolvem funções trigonométricas.
Passo 7
Quando os valores de
são complexos, ou seja,
, a solução geral da equação é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. As condições são:
Passo 9
Primeiro, calculamos
:
Sabemos que
, então:
Então,
.
Passo 10
Agora, precisamos encontrar
para aplicar a segunda condição. Derivando
:
Simplificando:
Passo 11
Aplicamos
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é: