Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t^{2} \cos b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{2}\cos(bt),
que é conteúdo de transformada de Laplace e, em particular, vamos usar a propriedade que relaciona multiplicação por t^{n} com derivadas em s.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt,
e a propriedade de derivadas diz que, se
F(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
então
\mathcal{L}\{t^{n}g(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s).

Passo 3

Começamos encontrando a transformada básica de \cos(bt):
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s) =\int_{0}^{\infty}\cos(bt)\,e^{-st}\,dt =\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.
Chamemos este resultado de
F_{0}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Pela propriedade com n=2, temos
\mathcal{L}\{t^{2}\cos(bt)\}(s) =(-1)^{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}F_{0}(s) =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\biggl(\frac{s}{s^{2}+b^{2}}\biggr).

Passo 5

Calculamos a primeira derivada:
\frac{d}{ds}F_{0}(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^{2}+b^{2}}\Bigr) =\frac{(1)(s^{2}+b^{2})-s\cdot2s}{(s^{2}+b^{2})^{2}} =\frac{b^{2}-s^{2}}{(s^{2}+b^{2})^{2}}.

Passo 6

Agora a segunda derivada:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F_{0}(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{b^{2}-s^{2}}{(s^{2}+b^{2})^{2}}\Bigr).
Chamando N=b^{2}-s^{2} e D=(s^{2}+b^{2})^{2}, temos
N'=-2s,\quad D'=4s(s^{2}+b^{2}),
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\frac{d^{2}}{ds^{2}}F_{0}(s) =\frac{N'D - N\,D'}{D^{2}} =\frac{-2s\,(s^{2}+b^{2})^{2}-4s(b^{2}-s^{2})(s^{2}+b^{2})}{(s^{2}+b^{2})^{4}}.
Fatorando -2s(s^{2}+b^{2}) no numerador:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F_{0}(s) =\frac{-2s(s^{2}+b^{2})\bigl[(s^{2}+b^{2})+2(b^{2}-s^{2})\bigr]}{(s^{2}+b^{2})^{4}} =\frac{-2s(s^{2}+b^{2})(-s^{2}+3b^{2})}{(s^{2}+b^{2})^{4}},
que simplifica para
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F_{0}(s) =\frac{2s\,(s^{2}-3b^{2})}{(s^{2}+b^{2})^{3}}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{t^{2}\cos(bt)\}(s) =\frac{2s\,(s^{2}-3b^{2})}{(s^{2}+b^{2})^{3}}.}

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