Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
2 \frac{d y}{d t}-y=0, \quad y(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2\frac{dy}{dt}-y=0
com condição inicial y(0)=-3. Vamos usar transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em s e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os termos da EDO, usamos \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)
e \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s). Logo,
2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)-Y(s)=0.

Passo 3

Substituímos y(0)=-3 na equação algébrica:
2\bigl(sY(s)+3\bigr)-Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2sY(s)+6 - Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad (2s-1)Y(s)=-6.
Assim,
Y(s)=\frac{-6}{2s-1} =-3\;\frac{1}{s-\tfrac12}.

Passo 4

Reconhecemos que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.
Portanto,
y(t)=-3\,e^{\tfrac12 t}.

Resposta

y(t)=-3e^{t/2}

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