Em cada um dos itens a seguir, use álgebra apropriada e encontre a transformada de Laplace inversa mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\}\right\} :
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-1}{s^{2}+2}\}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{s-1}{s^{2}+2}
ou seja, queremos encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. O conteúdo aqui é usar álgebra simples para separar termos e depois aplicar as fórmulas conhecidas de transformada inversa.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{s-1}{s^{2}+2} =\frac{s}{s^{2}+2}\;-\;\frac{1}{s^{2}+2}.
Essa decomposição nos permite usar diretamente as transformadas inversas de cada parcela.

Passo 3

Reconhecemos que, para a>0:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\Bigr\}=\cos(at).
  2. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\Bigr\}=\sin(at).
    No nosso caso, a^{2}=2 implica a=\sqrt{2}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas:
– Para \displaystyle \frac{s}{s^{2}+2}, temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^{2}+2}\Bigr\} =\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
– Para \displaystyle \frac{1}{s^{2}+2}, escrevemos
\frac{1}{s^{2}+2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\;\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+(\sqrt{2})^{2}}
e assim
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+2}\Bigr\} =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
Subtraindo as duas partes, obtemos
f(t) =\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

Resposta

f(t)=\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

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