Use a Transformada de Laplace para resolver o PVI dado.
y^prime-y=2 cos (5 t) com y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - y = 2cos(5t), y(0)=0
usando a Transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada a cada termo da EDO, usar a condição inicial, resolver a equação no domínio de s, decompor em frações parciais e, por fim, fazer a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando Lcdot em ambos os lados, temos
Ly' - Ly = 2,Lcos(5t)
Como Ly' = sY(s) - y(0) e Lcos(5t) = ss^2+25, substituímos y(0)=0.

Passo 3

Substituindo na equação de Laplace:
sY(s) - Y(s) = 2cdotss^2+25 Longrightarrow (s-1)Y(s) = 2ss^2+25 Longrightarrow Y(s) = 2s(s-1)(s^2+25)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
2s(s-1)(s^2+25) = As-1 + Bs + Cs^2+25
Multiplicando por (s-1)(s^2+25) e igualando coeficientes de s^2,s,1, obtemos
A = 113, B = -113, C = 2513

Passo 5

Reescrevendo Y(s):
Y(s) = 1/13s-1 - 1/13,ss^2+25 + 25/13s^2+25
Aplicando a transformada inversa:
L^-11/(s-1)=e^t,
L^-1s/(s^2+25)=cos(5t),
L^-11/(s^2+25)=tfrac15sin(5t).

Passo 6

Juntando tudo:
y(t) = 113e^t - 113cos(5t) + 2513cdot15sin(5t) = 113e^t - 113cos(5t) + 513sin(5t)

Resposta

y(t)=113e^t - 113cos(5t) + 513sin(5t)

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