Use a transformada de Laplace para resolver o PVI: y^prime+y=f(t), y(0)=0, onde f(t) é a função definida por
f(t)=ll 1 & 0 <= t<1 e^-t & 1 <= t
Sugestão: Escreva a função f(t) em termos de uma função degrau unitário.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI y' + y = f(t) com y(0)=0, onde f(t) é uma função em partes. O conteúdo principal aqui é equação diferencial linear de 1ª ordem com transformada de Laplace e uso da função degrau unitário para representar f(t).

Passo 2

Precisamos reescrever f(t) usando a função degrau u(t-1). Note que
f(t)=1,&0<= t<1,e^-t,&t>=1
é o mesmo que
f(t)=1 + l(e^-t-1r)u(t-1)
Aqui a ideia é: antes de t=1 vale 1, depois vale e^-t.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de y' + y = f(t). Usando Ly'=sY(s)-y(0) e Ly=Y(s), com y(0)=0, obtemos
sY(s)+Y(s)=F(s) Longrightarrow Y(s)=F(s)s+1

Passo 4

Precisamos então de F(s)=Lf(t). De
f(t)=1 + (e^-t-1)u(t-1)
vem
L1=1s,
L(e^-t-1)u(t-1)=e^-s,Lh(t),
onde h(t)=e^-(t+1)-1=e^-1e^-t-1. Assim
Lh(t)=integral0^infty(e^-1e^-t-1)e^-stdt=e^-1s+1-1s
Logo
F(s)=1s + e^-sl(e^-1s+1-1sr)

Passo 5

Substituindo em Y(s)=F(s)/(s+1)
Y(s)=1s(s+1) + e^-sl(e^-1(s+1)^2-1s(s+1)r)

Passo 6

Finalmente, aplicamos a antitransformada:
  1. 1s(s+1)=1s-1s+1 1-e^-t.
  2. O termo com e^-s gera um u(t-1) deslocado: a antitransformada de
    e^-1(s+1)^2-1s(s+1)
    é
    e^-1(t-1)e^-(t-1) - [1 - e^-(t-1)].
    Juntando tudo e reorganizando, obtemos a solução em partes.

Passo 7

Ao simplificar o trecho para t>=1, fica
y(t)=(1-e^-t) + e^-1(t-1)e^-(t-1) -1 + e^-(t-1)
o que, após usar e^-(t-1)=e,e^-t, resulta em
y(t)=(t+e-2)e^-t
Portanto a solução final é dada em partes conforme abaixo.

Resposta

y(t)= 1 - e^-t, &0<= t<1, (t+e-2)e^-t, &t>=1

Exercícios relacionados