Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
, onde
é a função definida por
Sugestão: Escreva a função
em termos de uma função degrau unitário.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver o PVI
com
, onde
é uma função em partes. O conteúdo principal aqui é equação diferencial linear de 1ª ordem com transformada de Laplace e uso da função degrau unitário para representar
.
Passo 2
Precisamos reescrever
usando a função degrau
. Note que
é o mesmo que
Aqui a ideia é: antes de
vale 1, depois vale
.
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
. Usando
e
, com
, obtemos
Passo 4
Precisamos então de
. De
vem
onde
. Assim
Logo
Passo 5
Substituindo em
dá
Passo 6
Finalmente, aplicamos a antitransformada:
-
dá . - O termo com
gera um deslocado: a antitransformada de
é
.
Juntando tudo e reorganizando, obtemos a solução em partes.
Passo 7
Ao simplificar o trecho para
, fica
o que, após usar
, resulta em
Portanto a solução final é dada em partes conforme abaixo.