Use a transformada de Laplace para resolver a equação integro-diferencial
y^prime(t)=1-sen t-integral0^t y(u) d u, y(0)=1

Passo 1

A questão pede pra gente resolver a equação integro-diferencial usando a transformada de Laplace: temos y'(t)=1-sin t-integral0^ty(u),du com y(0)=1. O conteúdo aqui envolve transformada de Laplace de derivadas e de integrais convoluídas, e vamos precisar das fórmulas:
  • Ly'(t)=sY(s)-y(0)
  • L1=1/s
  • Lsin t=1/(s^2+1)
  • Llintegral0^ty(u)dur=Y(s)/s

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação temos:
Ly'(t)=L1-Lsin t-Llintegral0^ty(u)dur
Substituindo cada termo:
sY(s)-1=1s-1s^2+1-Y(s)s

Passo 3

Agora isolamos Y(s). Primeiro somamos Y(s)/s aos dois lados e somamos 1:
sY(s)-1+Y(s)s=1s-1s^2+1Longrightarrow Y(s)l(s+1sr)=1+1s-1s^2+1
Dividindo por s+1/s=(s^2+1)/s temos:
Y(s)=l(1+1s-1s^2+1r)cdotss^2+1

Passo 4

Fazendo a distribuição:
Y(s)=ss^2+1+1s^2+1-s(s^2+1)^2
Agora reconhecemos transformadas conhecidas:
  • ss^2+1 é Lcos t
  • 1s^2+1 é Lsin t
  • s(s^2+1)^2 é tfrac12Ltsin t

Passo 5

Invertendo cada termo:
y(t)=cos t+sin t-tfrac12,tsin t
Esse é o nosso resultado final, que satisfaz y(0)=1.

Resposta

y(t)=cos t+sin t-tfrac12,tsin t

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