Resolva a equação diferencial não homogênea, usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea que é $ y’’ + 3y’ + 2y = 5 e^{-x} + 4 x^{2} $. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares com termos do lado direito que têm formas específicas, como exponenciais, polinomiais, senos ou cossenos. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, a gente assume que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $. Derivando isso, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica $ r^{2} + 3r + 2 = 0 $. Isso é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar assim:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p} $ para a equação não homogênea $ y’’ + 3y’ + 2y = 5 e^{-x} + 4 x^{2} $. O lado direito tem dois termos: $ 5 e^{-x} $ e $ 4 x^{2} $. Vamos tratar cada um separadamente.
Passo 6
Primeiro, para o termo $ 5 e^{-x} $. Notamos que $ e^{-x} $ já está na solução homogênea $ y_{h} $. Portanto, precisamos multiplicar nossa suposição por $ x $ para evitar duplicação de soluções. Assim, assumimos:
onde $ A $ é um coeficiente a ser determinado.
Passo 7
Agora, vamos derivar $ y_{p1} $:
Passo 8
Substituindo $ y_{p1} $, $ y_{p1}’ $ e $ y_{p1}’’ $ na equação original:
Simplificando:
Então, $ A = 5 $.
Portanto, a solução particular para $ 5 e^{-x} $ é:
Passo 9
Agora, vamos tratar o termo $ 4 x^{2} $. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução particular da forma:
onde $ B $, $ C $ e $ D $ são coeficientes a serem determinados.
Passo 10
Calculando as derivadas de $ y_{p2} $:
Passo 11
Substituindo $ y_{p2} $, $ y_{p2}’ $ e $ y_{p2}’’ $ na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 12
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Para $ x^{2} $:
Para $ x $:
Para termos constantes:
Passo 13
Então, a solução particular para $ 4 x^{2} $ é:
Passo 14
Finalmente, combinamos as soluções homogênea e particulares para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é