Resolva a equação diferencial não homogênea, usando o método dos coeficientes indeterminados
y^prime prime+3 y^prime+2 y=5 e^-x+4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea que é $ y’’ + 3y’ + 2y = 5 e^{-x} + 4 x^{2} $. A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares com termos do lado direito que têm formas específicas, como exponenciais, polinomiais, senos ou cossenos. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, a gente assume que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $. Derivando isso, temos:
y'' + 3y' + 2y = 0
Substituindo na equação homogênea:
y = e^rx
Fatorando $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^{2} + 3r + 2 = 0 $. Isso é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar assim:
r^2 + 3r + 2 = 0
Então, as raízes são:
(r + 1)(r + 2) = 0

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções correspondentes:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p} $ para a equação não homogênea $ y’’ + 3y’ + 2y = 5 e^{-x} + 4 x^{2} $. O lado direito tem dois termos: $ 5 e^{-x} $ e $ 4 x^{2} $. Vamos tratar cada um separadamente.

Passo 6

Primeiro, para o termo $ 5 e^{-x} $. Notamos que $ e^{-x} $ já está na solução homogênea $ y_{h} $. Portanto, precisamos multiplicar nossa suposição por $ x $ para evitar duplicação de soluções. Assim, assumimos:
5 e^-x
onde $ A $ é um coeficiente a ser determinado.

Passo 7

Agora, vamos derivar $ y_{p1} $:
yp1
yp1' = A e^-x + A (-x) e^-x = A e^-x (1 - x)

Passo 8

Substituindo $ y_{p1} $, $ y_{p1}’ $ e $ y_{p1}’’ $ na equação original:
yp1
Simplificando:
yp1'
yp1''
A e^-x (x - 2) + 3 [A e^-x (1 - x)] + 2 [A x e^-x] = 5 e^-x
Então, $ A = 5 $.
Portanto, a solução particular para $ 5 e^{-x} $ é:
A x e^-x - 2A e^-x + 3A e^-x - 3A x e^-x + 2A x e^-x = 5 e^-x

Passo 9

Agora, vamos tratar o termo $ 4 x^{2} $. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução particular da forma:
4 x^2
onde $ B $, $ C $ e $ D $ são coeficientes a serem determinados.

Passo 10

Calculando as derivadas de $ y_{p2} $:
yp2
yp2' = 2B x + C

Passo 11

Substituindo $ y_{p2} $, $ y_{p2}’ $ e $ y_{p2}’’ $ na equação original:
yp2
Simplificando:
yp2'
Agrupando os termos semelhantes:
yp2''

Passo 12

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Para $ x^{2} $:
x^2
Para $ x $:
2B = 4 implies B = 2
Para termos constantes:
x

Passo 13

Então, a solução particular para $ 4 x^{2} $ é:
4 x^2

Passo 14

Finalmente, combinamos as soluções homogênea e particulares para obter a solução geral da equação:
y = yh + yp1 + yp2 = C1 e^-x + C2 e^-2x + 5 x e^-x + 2 x^2 - 6 x + 7

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + 5 x e^-x + 2 x^2 - 6 x + 7

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