Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0, y^prime(0)=4, y(0)=2

Passo 1

O problema pede pra resolver a EDO y''-2y'+5y=0 com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=4 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas:
  • Ly'(s)=sY(s)-y(0)
  • Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
    onde Y(s)=Ly(t)(s).

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em cada termo da EDO temos:
Ly''-2Ly'+5Ly=0
Substituindo:
(s^2Y-2s-4)-2(sY-2)+5Y=0
Agrupando termos de Y(s) e constantes:
Y(s)(s^2-2s+5)-2s=0

Passo 3

Isolando Y(s) e completando o quadrado no denominador:
Y(s)=2ss^2-2s+5= rac2s(s-1)^2+4
Escrevendo o numerador como soma:
2s=2(s-1)+2
Então:
Y(s)=2(s-1)(s-1)^2+2^2+2(s-1)^2+2^2

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa usando:
  • L^-1(s-a)/[(s-a)^2+b^2]=e^atcos(bt)
  • L^-1b/[(s-a)^2+b^2]=e^atsin(bt)
    Logo:
L^-1l(2(s-1)(s-1)^2+2^2r)=2e^tcos2t,
L^-1l(2(s-1)^2+2^2r)=e^tsin2t
Somando os dois termos, obtemos y(t).

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(2\cos2t+\sin2t\bigr)

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