Use transformada de Laplace para resolver as seguintes equaçōes diferenciais:
ly^prime prime+y=t2 mho(t-6) y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y = t2,mho(t-6)
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo, usar a propriedade de deslocamento para o lado direito e, depois, inverter de volta com frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em , lembrando que
e , obtemos

Passo 3

Para o termo da direita usamos a propriedade de Heaviside:

Passo 4

Igualando as duas partes na equação transformada, temos
(s^2+1)Y(s)-1 = e^-6sl(12s^2+3sr) Longrightarrow Y(s) =1s^2+1 +e^-6s,12s^2+3ss^2+1

Passo 5

Escrevemos
Y(s)=underbrace1s^2+1Y1(s) +underbracee^-6s,H(s)Y2(s),
com
H(s)=tfrac12s^2+tfrac3ss^2+1 =12s^2(s^2+1)+3s(s^2+1)

Passo 6

Decompomos em frações parciais:
1s^2(s^2+1) =1s^2-1s^2+1, 3s(s^2+1) =3s-3ss^2+1
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H(s) =l(12s^2-12(s^2+1)r) +l(3s-3ss^2+1r)

Passo 7

Invertendo as transformadas conhecidas para e :
Assim obtemos a resposta sem deslocamento:

Passo 8

Aplicando o deslocamento de Heaviside, Y2(s) inverte para
y2(t)=h(t-6),mho(t-6),
ou seja
y2(t) =l(tfract-62+3-tfrac12sin(t-6)-3cos(t-6)r)mho(t-6)
Note que tfract-62+3=tfract2.

Resposta

boxed y(t)=sin t +l(tfract2-tfrac12sin(t-6)-3cos(t-6)r)mho(t-6)

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