Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{-t} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=e^{-t},\\[4pt] y(0)=0,\; y^{\prime}(0)=1, \end{array}\right.
definido em [0,+\infty).
As informações relevantes são: o lado direito é \,e^{-t}\,; as condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1. O que nos pedem é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando transformada de Laplace.]

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Primeiro, defino o que uso:
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é a variável da transformada e Y(s) é a imagem de y(t). As fórmulas que usarei para derivadas são:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; nelas y(0) e y'(0) são as condições iniciais que já nos foram dadas.

Passo 3

Agora aplico a transformada em cada termo da equação y''+4y'+4y=e^{-t}.
Transformando o lado esquerdo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{4y'\}=4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr),
\mathcal{L}\{4y\}=4Y(s).
Usando y(0)=0 e y'(0)=1 obtemos
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-1,
\mathcal{L}\{4y'\}=4sY(s),
\mathcal{L}\{4y\}=4Y(s).
O lado direito tem \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1}, pois, em geral, \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} (aqui a=-1).

Passo 4

Somando as transformadas do lado esquerdo e igualando ao lado direito:
\bigl(s^{2}Y(s)-1\bigr)+4sY(s)+4Y(s)=\frac{1}{s+1}.
Agrupando os termos com Y(s):
\bigl(s^{2}+4s+4\bigr)Y(s)-1=\frac{1}{s+1}.
Isolando Y(s):
\bigl(s^{2}+4s+4\bigr)Y(s)=1+\frac{1}{s+1},
Y(s)=\frac{1+\dfrac{1}{s+1}}{s^{2}+4s+4}.
Observação: s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}, então vou reescrever
Y(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}+\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}.
Aqui separamos o que já é reconhecível (primeiro termo) e o que precisa de decomposição parcial (segundo termo).

Passo 5

Vou inverter a transformada termo a termo. Primeiro termo: sabemos a tabela básica
\mathcal{L}\{t e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}.
Portanto o primeiro termo corresponde à função no tempo \,t e^{-2t}.
Segundo termo: preciso obter a transformada inversa de \dfrac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}. Faço frações parciais. Procuro A,B,C tais que
\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)^{2} fica
1=A(s+2)^{2}+B(s+1)(s+2)+C(s+1).
Vou determinar A,B,C. Expandindo:
1=A(s^{2}+4s+4)+B(s^{2}+3s+2)+C(s+1).
Agrupando coeficientes em potências de s:
coeficiente de s^{2}: A+B=0,
coeficiente de s: 4A+3B+C=0,
termo constante: 4A+2B+C=1.
Da primeira equação B=-A. Substituo nas outras:
para s: 4A+3(-A)+C=A+C=0 portanto C=-A.
para constante: 4A+2(-A)+(-A)=4A-2A-A=A=1 então A=1. Assim B=-1 e C=-1.
Logo a decomposição é
\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2} }=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}-\frac{1}{(s+2)^{2}}.

Passo 6

Agora volto a Y(s). Lembre que tínhamos
Y(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}+\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}.
Substituindo a decomposição do segundo termo:
Y(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}+\left(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}-\frac{1}{(s+2)^{2}}\right).
Algumas parcelas se cancelam: \dfrac{1}{(s+2)^{2}}-\dfrac{1}{(s+2)^{2}}=0. Assim obtemos a forma simples
Y(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo usando a tabela básica \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
Portanto a solução no tempo é
y(t)=e^{-t}-e^{-2t}.

Passo 7

Checagem rápida (sempre bom confirmar na prova): avalio y(0)=1-1=0 e
y'(t)=-e^{-t}+2e^{-2t},
então y'(0)=-1+2=1. As condições iniciais batem. Substituir na equação diferencial também dá certo (opcional), então a solução encontrada é consistente.

Resposta

y(t)=e^{-t}-e^{-2t}

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