Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
definido em
.
As informações relevantes são: o lado direito é ; as condições iniciais são
e
. O que nos pedem é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando transformada de Laplace.]
As informações relevantes são: o lado direito é
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Primeiro, defino o que uso:
onde
é a variável da transformada e
é a imagem de
. As fórmulas que usarei para derivadas são:
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; nelas
e
são as condições iniciais que já nos foram dadas.
Passo 3
Agora aplico a transformada em cada termo da equação
.
Transformando o lado esquerdo:
Usando
e
obtemos
O lado direito tem
, pois, em geral,
(aqui
).
Passo 4
Somando as transformadas do lado esquerdo e igualando ao lado direito:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Observação:
, então vou reescrever
Aqui separamos o que já é reconhecível (primeiro termo) e o que precisa de decomposição parcial (segundo termo).
Passo 5
Vou inverter a transformada termo a termo. Primeiro termo: sabemos a tabela básica
Portanto o primeiro termo corresponde à função no tempo
.
Segundo termo: preciso obter a transformada inversa de
. Faço frações parciais. Procuro
tais que
Multiplicando ambos os lados por
fica
Vou determinar
. Expandindo:
Agrupando coeficientes em potências de
:
coeficiente de
:
,
coeficiente de
:
,
termo constante:
.
Da primeira equação
. Substituo nas outras:
para
:
portanto
.
para constante:
então
. Assim
e
.
Logo a decomposição é
Passo 6
Agora volto a
. Lembre que tínhamos
Substituindo a decomposição do segundo termo:
Algumas parcelas se cancelam:
. Assim obtemos a forma simples
Agora aplico a transformada inversa termo a termo usando a tabela básica
:
Portanto a solução no tempo é
Passo 7
Checagem rápida (sempre bom confirmar na prova): avalio
e
então
. As condições iniciais batem. Substituir na equação diferencial também dá certo (opcional), então a solução encontrada é consistente.