Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}-7 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial em [0,+\infty)\): \[\begin{cases} y''+6y'-7y=0,\\[4pt] y(0)=1,\; y'(0)=0. \end{cases}
Informações dadas:
\;y''+6y'-7y=0\] é a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes. As condições iniciais são \(\;y(0)=1 e \;y'(0)=0.
O objetivo é encontrar a função \;y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.]

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e propriedades que usaremos (explicação didática e com calma).
A transformada de Laplace de uma função \;y(t) (para t\ge0) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,y(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como um número real suficientemente grande para a integral convergir). Essa transformada converte uma equação diferencial em uma equação algébrica em s, o que facilita a solução.
Propriedades que vamos usar (sem pular passos):
  • Linearidade:
\mathcal{L}\{a\,u(t)+b\,v(t)\}=a\,\mathcal{L}\{u(t)\}+b\,\mathcal{L}\{v(t)\}.
  • Transformada de derivadas (essas são essenciais; aqui está a fórmula e o porquê básico): se \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)
e
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada às derivadas; elas incorporam as condições iniciais automaticamente — por isso essa técnica é útil em problemas de valor inicial.
Também precisamos saber a transformada inversa simples: se
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Iremos usar isso depois para voltar ao domínio do tempo.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial completo e substituir as condições iniciais.
Seja \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados de
\;y''+6y'-7y=0 e usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais \;y(0)=1, \;y'(0)=0, obtemos:
Transformada de \;y'':
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1 - 0 = s^{2}Y(s)-s.
Transformada de \;6y':
\mathcal{L}\{6y'\}=6\big(sY(s)-y(0)\big)=6sY(s)-6\cdot 1 = 6sY(s)-6.
Transformada de \;-7y:
\mathcal{L}\{-7y\}=-7Y(s).
Somando as três transformadas e igualando a zero (transformada do lado direito):
\big(s^{2}Y(s)-s\big)+\big(6sY(s)-6\big)+\big(-7Y(s)\big)=0.

Passo 4

Agrupar os termos em Y(s) e resolver para Y(s).
Agrupando:
Y(s)\big(s^{2}+6s-7\big) - (s+6)=0.
Logo,
Y(s)=\frac{s+6}{s^{2}+6s-7}.
Agora fatoramos o denominador para facilitar a inversão. O polinômio quadrático fatoriza como
s^{2}+6s-7=(s-1)(s+7).
Portanto
Y(s)=\frac{s+6}{(s-1)(s+7)}.

Passo 5

Fazer a decomposição em frações parciais (explicando o método).
Queremos escrever \;Y(s)\) como soma de termos do tipo \(\frac{A}{s-1}\) e \(\frac{B}{s+7}\), porque sabemos a transformada inversa desses termos. Supomos: \[\frac{s+6}{(s-1)(s+7)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+7}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+7) obtemos:
s+6 = A(s+7)+B(s-1).
Expandindo:
s+6 = (A+B)s + (7A - B).
Comparando coeficientes (coeficiente de s e termo constante) obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 7A - B = 6. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar B\]: \((A+B)+(7A-B)=1+6 8A=7, então
A=\frac{7}{8}.
Então B=1-A=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}.
Portanto
Y(s)=\frac{7/8}{s-1} + \frac{1/8}{s+7}.]

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo e interpretar o resultado.
Usando a transformada inversa conhecida \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos:
y(t)=\frac{7}{8}e^{1\cdot t} + \frac{1}{8}e^{-7t}.
Aqui cada termo foi obtido diretamente: \frac{7/8}{s-1} corresponde a \frac{7}{8}e^{t} e \frac{1/8}{s+7} corresponde a \frac{1}{8}e^{-7t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (checar para ganhar confiança).
Calcule \;y(0) e \;y'(0) a partir da solução encontrada:
y(0)=\frac{7}{8}e^{0}+\frac{1}{8}e^{0}=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}=1,
y'(t)=\frac{7}{8}e^{t}-\frac{7}{8}e^{-7t}\quad\text{(atenção: derivada do segundo termo é } \frac{1}{8}(-7)e^{-7t}=-\frac{7}{8}e^{-7t}\text{)},çãé
então
y'(0)=\frac{7}{8}-\frac{7}{8}=0.
As condições iniciais conferem, ótimo — a solução está consistente.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{7}{8}e^{t}+\frac{1}{8}e^{-7t}

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