Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial em
Informações dadas:
e .
O objetivo é encontrar a função que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.]
e
O objetivo é encontrar a função
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e propriedades que usaremos (explicação didática e com calma).
A transformada de Laplace de uma função (para
) é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa (na prática, tratamos
como um número real suficientemente grande para a integral convergir). Essa transformada converte uma equação diferencial em uma equação algébrica em
, o que facilita a solução.
Propriedades que vamos usar (sem pular passos):
- Linearidade:
- Transformada de derivadas (essas são essenciais; aqui está a fórmula e o porquê básico): se
, então
e
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada às derivadas; elas incorporam as condições iniciais automaticamente — por isso essa técnica é útil em problemas de valor inicial.
Também precisamos saber a transformada inversa simples: se
então
Iremos usar isso depois para voltar ao domínio do tempo.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial completo e substituir as condições iniciais.
Seja . Aplicando
em ambos os lados de
e usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Seja
Transformada de
:
Transformada de
:
Transformada de
:
Somando as três transformadas e igualando a zero (transformada do lado direito):
Passo 4
Agrupar os termos em
e resolver para
.
Agrupando:
Agrupando:
Logo,
Agora fatoramos o denominador para facilitar a inversão. O polinômio quadrático fatoriza como
Portanto
Passo 5
Fazer a decomposição em frações parciais (explicando o método).
Queremos escrever
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Expandindo:
Comparando coeficientes (coeficiente de
e termo constante) obtemos o sistema:
Somando as duas equações para eliminar
dá
, então
Então
.
Portanto
Passo 6
Aplicar a transformada inversa termo a termo e interpretar o resultado.
Usando a transformada inversa conhecida , obtemos:
Usando a transformada inversa conhecida
Aqui cada termo foi obtido diretamente:
corresponde a
e
corresponde a
.
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (checar para ganhar confiança).
Calcule e
a partir da solução encontrada:
Calcule
então
As condições iniciais conferem, ótimo — a solução está consistente.