Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema dá a equação diferencial e as condições iniciais abaixo, e pede a solução [y(t)) para t\in[0,+\infty):
\begin{cases} y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=1. \end{cases}
Listei todas as informações: a equação homogênea de segunda ordem, e os valores iniciais y(0)=0\] e \(y'(0)=1. A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz tudo isso.]

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, o que é e algumas propriedades que precisamos:
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Transformada de derivadas (resultado fundamental para resolver EDOs com Laplace):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Breve justificativa (para ficar seguro): por integração por partes, ao transformar y' usamos u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt e obtemos o termo de fronteira -e^{-st}y(t)\big|_{0}^{\infty}=y(0) (assumindo crescimento controlado) e o termo s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt=sY(s). Para y'' aplica-se a fórmula para y' novamente.
Aqui s é a variável complexa da transformada e Y(s) representa a transformada de y(t). As condições iniciais y(0) e y'(0) entram exatamente nas fórmulas acima.

Passo 3

Aplique \mathcal{L}\{\cdot\} na equação \;y''+4y'+3y=0. Usando linearidade e as fórmulas de derivada obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+4\mathcal{L}\{y'\}(s)+3\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Substituindo \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y\}=Y(s), e usando y(0)=0, y'(0)=1, obtemos:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 0 -1\big)+4\big(sY(s)-0\big)+3Y(s)=0.
Simplificando:
\big(s^{2}+4s+3\big)Y(s)-1=0.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s^{2}+4s+3}.

Passo 4

Vamos decompor Y(s) em frações parciais para poder inverter a transformada. Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3).
Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+3):
1=A(s+3)+B(s+1).
Escolhendo valores convenientes:
  • Para s=-1: 1=A(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Para s=-3: 1=B(-2)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
Assim
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3}.

Passo 5

Agora usamos a transformada inversa: sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t}.
Aplicando inversa termo a termo em Y(s):
y(t)=\frac{1}{2}e^{-1\cdot t}-\frac{1}{2}e^{-3\cdot t}.
Isso nos dá explicitamente y(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}.

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança):
  • y(0)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0, ok.
  • Derivando \;y'(t)=-\tfrac{1}{2}e^{-t}+ \tfrac{3}{2}e^{-3t}, então y'(0)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1, ok.
Tudo confere com o enunciado.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{1}{2}e^{-3t}

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