Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.
Passo 1
O problema dá a equação diferencial e as condições iniciais abaixo, e pede a solução [y(t)) para t\in[0,+\infty):
Listei todas as informações: a equação homogênea de segunda ordem, e os valores iniciais y(0)=0\] e \(y'(0)=1. A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz tudo isso.]
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, o que é e algumas propriedades que precisamos:
Transformada de derivadas (resultado fundamental para resolver EDOs com Laplace):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Breve justificativa (para ficar seguro): por integração por partes, ao transformar y' usamos u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt e obtemos o termo de fronteira -e^{-st}y(t)\big|_{0}^{\infty}=y(0) (assumindo crescimento controlado) e o termo s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt=sY(s). Para y'' aplica-se a fórmula para y' novamente.
Aqui s é a variável complexa da transformada e Y(s) representa a transformada de y(t). As condições iniciais y(0) e y'(0) entram exatamente nas fórmulas acima.
Passo 3
Aplique \mathcal{L}\{\cdot\} na equação \;y''+4y'+3y=0. Usando linearidade e as fórmulas de derivada obtemos: