Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
definido em
.
O que se pede: encontrar a função que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Informações relevantes dadas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante ; as condições iniciais
e
.]
O que se pede: encontrar a função
Informações relevantes dadas: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro lembro as definições e propriedades que vamos usar (vou explicar curtinho e claro para você decorar para a prova).
Definição da transformada de Laplace de uma função (para
):
Definição da transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável complexa (na prática, tratamos
real e grande o suficiente).
Propriedades essenciais (derivadas e linearidade), para com transformada
:
Propriedades essenciais (derivadas e linearidade), para
Também a transformada da exponencial:
válida para
.
Essas fórmulas aparecem sempre nas provas — especialmente as de derivada — porque transformam derivadas em polinômios em , facilitando resolver EDOs com condições iniciais.
Essas fórmulas aparecem sempre nas provas — especialmente as de derivada — porque transformam derivadas em polinômios em
Passo 3
Aplicamos
em ambos os lados da equação diferencial. Usando linearidade e as fórmulas para derivadas:
Substituindo as expressões:
Agora usamos as condições iniciais
e
, que simplificam bastante:
Note que o polinômio do lado esquerdo é o característico:
.
Passo 4
Isolamos
:
Fatoramos o polinômio quadrático
:
Portanto
Agora fazemos decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade:
Para achar
de forma rápida plugamos valores convenientes de
:
- Se
: então . - Se
: então .
Para acharpodemos usar qualquer outro , por exemplo :
Substituindo
e
:
Logo a decomposição é
Passo 5
Agora invertendo a transformada termo a termo usando as fórmulas:
Aplicando isso a cada parcela:
Somando os termos, obtemos a solução no domínio temporal:
Você pode também escrever de forma factorizada como
— a mesma coisa, só outra aparência.
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (pra te deixar seguro): em
portanto as condições iniciais batem. E não tem mistério: o uso da transformada de Laplace transformou a EDO em uma álgebra em
, tratável com frações parciais; essa é a razão pela qual essa técnica é prática em provas quando aparecem forçantes exponenciais e condições iniciais dadas.