Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial em
As informações relevantes fornecidas são:
- A equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
:
e
- O domínio considerado é.]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e usar a definição e propriedades básicas da transformada de Laplace (para você lembrar na prova, sem pânico):
Definição: a transformada de Laplace de uma função
(para
) é
onde
é uma variável complexa (na prática, tratamos
como variável real suficiente para resolver aqui).
Propriedades que usamos (fórmulas padrão que sempre ajudam para EDOs com condições iniciais):
Aqui
. As quantidades
e
são as condições iniciais dadas no enunciado.
Agora aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial termo a termo. A transformada da soma é a soma das transformadas e a transformada da função zero é zero. Então:
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
e
:
Como
e
, essa expressão simplifica para
Agora coletamos
:
Logo, isolando
,
Passo 3
Precisamos devolver
aplicando a transformada inversa a
. Para reconhecer a transformada inversa, completamos o quadrado no denominador:
Assim
Agora usamos transformadas padrão: para
reais,
No nosso caso,
e
. Note que
Mas
. Portanto
Aplicando a transformada inversa,
Passo 4
Só para ter confiança — verificamos rapidamente as condições iniciais (checagem que vale a pena na prova):
Calcule :
Calcule
corresponde a
.
Calcule
para verificar
. Derivando
usando produto:
Assim
ok, bate com a condição dada.