Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial em [0,+\infty)\) dado por \[\begin{cases} y'' - 2y' + 5y = 0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=1. \end{cases}
As informações relevantes fornecidas são:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes: \,y''-2y'+5y=0.\] - As condições iniciais em \(t=0: \,y(0)=0 e \,y'(0)=1.
    - O domínio considerado é t\ge 0.]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e usar a definição e propriedades básicas da transformada de Laplace (para você lembrar na prova, sem pânico):
Definição: a transformada de Laplace de uma função y(t) (para t\ge 0) é
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,y(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como variável real suficiente para resolver aqui).
Propriedades que usamos (fórmulas padrão que sempre ajudam para EDOs com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. As quantidades y(0) e y'(0) são as condições iniciais dadas no enunciado.
Agora aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial termo a termo. A transformada da soma é a soma das transformadas e a transformada da função zero é zero. Então:
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+5\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais \,y(0)=0 e \,y'(0)=1:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-2\big(sY(s)-y(0)\big)+5Y(s)=0.
Como y(0)=0 e y'(0)=1, essa expressão simplifica para
s^{2}Y(s)-1-2sY(s)+5Y(s)=0.
Agora coletamos Y(s):
Y(s)\big(s^{2}-2s+5\big)=1.
Logo, isolando Y(s),
Y(s)=\frac{1}{s^{2}-2s+5}.

Passo 3

Precisamos devolver y(t) aplicando a transformada inversa a Y(s). Para reconhecer a transformada inversa, completamos o quadrado no denominador:
s^{2}-2s+5=(s-1)^{2}+4.
Assim
Y(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}+2^{2}}.
Agora usamos transformadas padrão: para a,b reais,
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
No nosso caso, a=1 e b=2. Note que
\frac{1}{(s-1)^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}}.
Mas \dfrac{2}{(s-1)^{2}+2^{2}}=\mathcal{L}\{e^{t}\sin(2t)\}. Portanto
Y(s)=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{t}\sin(2t)\}.
Aplicando a transformada inversa,
y(t)=\frac{1}{2}\,e^{t}\sin(2t).

Passo 4

Só para ter confiança — verificamos rapidamente as condições iniciais (checagem que vale a pena na prova):
Calcule y(0):
y(0)=\frac{1}{2}e^{0}\sin(0)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot0=0,
corresponde a \,y(0)=0.
Calcule y'(t) para verificar y'(0)=1. Derivando y(t)=\tfrac{1}{2}e^{t}\sin(2t) usando produto:
y'(t)=\frac{1}{2}\big(e^{t}\sin(2t)+e^{t}\cdot 2\cos(2t)\big) =\frac{1}{2}e^{t}\big(\sin(2t)+2\cos(2t)\big).
Assim
y'(0)=\frac{1}{2}e^{0}\big(\sin 0 + 2\cos 0\big)=\frac{1}{2}\cdot(0+2)=1,
ok, bate com a condição dada.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}\,e^{t}\sin(2t)

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