Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=9 t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial em [0,+\infty)\):
\[\begin{cases} y'' + 4y = 9t,\\[4pt] y(0)=0,\; y'(0)=7. \end{cases}
O que se pede: encontrar a função y(t)\] definida para \(t\ge 0 que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, defino a transformada de Laplace de uma função f(t) como
É muito útil trabalhar com transformadas de derivadas. Para uma função y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, valem as fórmulas (essas fórmulas são demonstráveis integrando por partes; aqui eu as uso e explico o significado de cada termo):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nessas fórmulas, y(0) e y'(0) são as condições iniciais que aparecem ao transformar derivadas — por isso transformada de Laplace é ótima para PVI.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Escrevo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando as fórmulas das derivadas e substituindo y(0)=0 e y'(0)=7, tenho
No nosso caso a=2, então \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}. Para inverter cada parcela:
\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}} corresponde a \dfrac{9}{4}t.
\dfrac{19}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+4} corresponde a \dfrac{19}{4}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\dfrac{19}{8}\sin(2t), porque precisamos multiplicar por \dfrac{1}{2} para ajustar a constante 2 do numerador de \mathcal{L}\{\sin(2t)\}.
Portanto a solução no tempo é
y(t)=\frac{9}{4}\,t+\frac{19}{8}\sin(2t).
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (conferência útil na prova): y(0)=\dfrac{9}{4}\cdot 0 + \dfrac{19}{8}\sin(0)=0. Derivando,
logo y'(0)=\dfrac{9}{4}+\dfrac{19}{4}= \dfrac{28}{4}=7. As condições iniciais batem certinho — sinal de que tudo está certo. Vai dar tudo certo na prova 😃