Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=9 t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial em [0,+\infty)\): \[\begin{cases} y'' + 4y = 9t,\\[4pt] y(0)=0,\; y'(0)=7. \end{cases}
O que se pede: encontrar a função y(t)\] definida para \(t\ge 0 que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, defino a transformada de Laplace de uma função f(t) como
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
É muito útil trabalhar com transformadas de derivadas. Para uma função y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, valem as fórmulas (essas fórmulas são demonstráveis integrando por partes; aqui eu as uso e explico o significado de cada termo):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nessas fórmulas, y(0) e y'(0) são as condições iniciais que aparecem ao transformar derivadas — por isso transformada de Laplace é ótima para PVI.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Escrevo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usando as fórmulas das derivadas e substituindo y(0)=0 e y'(0)=7, tenho
\mathcal{L}\{y''\}(s)+4\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{9t\}(s).
Substituindo:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+4Y(s)=\frac{9}{s^{2}}.
Como y(0)=0 e y'(0)=7, isso vira
\big(s^{2}Y(s)-7\big)+4Y(s)=\frac{9}{s^{2}}.
Agrupando Y(s):
(s^{2}+4)Y(s)-7=\frac{9}{s^{2}}.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{9}{s^{2}}+7}{s^{2}+4}.
Posso escrever isso separando em parcelas mais simples:
Y(s)=\frac{9}{s^{2}(s^{2}+4)}+\frac{7}{s^{2}+4}.

Passo 4

Agora vamos decompor a primeira fração em frações parciais para inverter a transformada facilmente. Quero decompor
\frac{9}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Proponho a forma
\frac{9}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{B}{s^{2}}+\frac{A}{s}+\frac{Cs+D}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+4)\) obtemos a identidade polinomial \[9 = A s (s^{2}+4) + B(s^{2}+4) + (Cs+D)s^{2}.
Expandindo e coletando coeficientes (ordenando por potências de s):
9 = (A+C)s^{3} + (B+D)s^{2} + (4A)s + 4B.
Comparando coeficientes com o polinômio constante 9 (que é 0s^{3}+0s^{2}+0s+9), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C=0,\\[2pt] B+D=0,\\[2pt] 4A=0,\\[2pt] 4B=9. \end{cases}
Da terceira equação segue A=0\], então \(C=0 pela primeira. Da quarta segue B=\dfrac{9}{4}, então D=-B=-\dfrac{9}{4}. Assim a decomposição fica
\frac{9}{s^{2}(s^{2}+4)}=\frac{9/4}{s^{2}}+\frac{-9/4}{s^{2}+4}.
Logo, voltando à expressão para Y(s),
Y(s)=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}}-\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}+\frac{7}{s^{2}+4}.
Reagrupando os termos sobre s^{2}+4:
Y(s)=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}}+\frac{-9/4+7}{s^{2}+4}.
Calculo -\dfrac{9}{4}+7=\dfrac{-9+28}{4}=\dfrac{19}{4}. Assim
Y(s)=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}}+\frac{19}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.]

Passo 5

Agora inverto a transformada termo a termo. Lembrando transformadas básicas:
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
No nosso caso a=2, então \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}. Para inverter cada parcela:
  • \dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}} corresponde a \dfrac{9}{4}t.
  • \dfrac{19}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+4} corresponde a \dfrac{19}{4}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\dfrac{19}{8}\sin(2t), porque precisamos multiplicar por \dfrac{1}{2} para ajustar a constante 2 do numerador de \mathcal{L}\{\sin(2t)\}.
Portanto a solução no tempo é
y(t)=\frac{9}{4}\,t+\frac{19}{8}\sin(2t).

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (conferência útil na prova): y(0)=\dfrac{9}{4}\cdot 0 + \dfrac{19}{8}\sin(0)=0. Derivando,
y'(t)=\frac{9}{4}+\frac{19}{8}\cdot 2\cos(2t)=\frac{9}{4}+\frac{19}{4}\cos(2t),
logo y'(0)=\dfrac{9}{4}+\dfrac{19}{4}= \dfrac{28}{4}=7. As condições iniciais batem certinho — sinal de que tudo está certo. Vai dar tudo certo na prova 😃

Resposta

y(t)=\dfrac{9}{4}\,t+\dfrac{19}{8}\sin(2t)

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