Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}=5 e^{-2 t} \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O problema dá o seguinte problema de valor inicial em [0,+\infty)\): \[\begin{cases} y''(t)-9y'(t)=5e^{-2t},\\[4pt] y(0)=1,\quad y'(0)=2. \end{cases}
As informações relevantes são:
  • a equação diferencial \;y''-9y'=5e^{-2t}\];\n - as condições iniciais \(\;y(0)=1 e \;y'(0)=2;\n
    - a solução procurada é a função y(t) definida para t\ge0.\n
    O objetivo é usar a transformada de Laplace para encontrar y(t).]

Passo 2

Vou resumir a ferramenta que usaremos: a transformada de Laplace. Definição e propriedades necessárias:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa com parte real suficientemente grande para garantir convergência. Denotamos \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s).
Propriedades essenciais (que usamos sem demonstrar totalmente, mas explico o que significam):
  • Transformada de derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada às derivadas; elas conectam as condições iniciais com Y(s).
  • Transformada de exponencial:
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para }\Re(s)> \Re(a).
No nosso caso usaremos \mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\dfrac{1}{s+2}.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos:
\mathcal{L}\{y''(t)\}-9\mathcal{L}\{y'(t)\}=\mathcal{L}\{5e^{-2t}\}.
Usando as fórmulas das derivadas e a transformada da exponencial, substituímos:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-9\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=\frac{5}{s+2}.
Agora substituímos as condições iniciais \;y(0)=1 e \;y'(0)=2:
\bigl(s^{2}Y(s)-s-2\bigr)-9\bigl(sY(s)-1\bigr)=\frac{5}{s+2}.

Passo 4

Faço a álgebra para isolar Y(s). Expandindo e recolhendo termos:
s^{2}Y(s)-s-2-9sY(s)+9=\frac{5}{s+2}.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos independentes:
(s^{2}-9s)Y(s)+(-s-2+9)=\frac{5}{s+2}.
Simplificando o termo constante -s-2+9=-s+7, obtemos:
(s^{2}-9s)Y(s)-s+7=\frac{5}{s+2}.
Isolando Y(s):
(s^{2}-9s)Y(s)=\frac{5}{s+2}+s-7.
Como s^{2}-9s=s(s-9), temos
Y(s)=\frac{\dfrac{5}{s+2}+s-7}{s(s-9)}.
Coloco tudo sobre um mesmo denominador para simplificar:
Y(s)=\frac{(s-7)(s+2)+5}{(s+2)s(s-9)}.
Calculo o numerador: (s-7)(s+2)=s^{2}-5s-14, somando 5 s^{2}-5s-9. Assim
Y(s)=\frac{s^{2}-5s-9}{s(s-9)(s+2)}.

Passo 5

Agora fazemos frações parciais para inverter a transformada. Escrevemos
\frac{s^{2}-5s-9}{s(s-9)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-9}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-9)(s+2) obtemos a identidade
s^{2}-5s-9=A(s-9)(s+2)+B\,s(s+2)+C\,s(s-9).
Para achar A,B,C uso valores convenientes de s:
  • Tomando s=0:
0^{2}-0-9=-9=A(-9)(2)\Rightarrow -9=-18A\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Tomando s=9:
9^{2}-5\cdot9-9=81-45-9=27=B\cdot 9\cdot 11\Rightarrow 27=99B\Rightarrow B=\tfrac{27}{99}=\tfrac{3}{11}.
  • Tomando s=-2:
(-2)^{2}-5(-2)-9=4+10-9=5=C\cdot(-2)\cdot(-11)\Rightarrow 5=22C\Rightarrow C=\tfrac{5}{22}.
Portanto as constantes são A=\tfrac{1}{2}, B=\tfrac{3}{11}, C=\tfrac{5}{22}. Logo
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+\frac{3}{11}\cdot\frac{1}{s-9}+\frac{5}{22}\cdot\frac{1}{s+2}.

Passo 6

Agora uso as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}(t)=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-9}\right\}(t)=e^{9t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}(t)=e^{-2t}.
Aplicando \mathcal{L}^{-1} termo a termo em Y(s) obtemos os componentes da solução no domínio do tempo (vou deixar a soma final apenas na seção de resposta, conforme pedido).

Resposta

\displaystyle y(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{11}e^{9t}+\tfrac{5}{22}e^{-2t}

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