Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O problema dá o seguinte problema de valor inicial em
As informações relevantes são:
- a equação diferencial
e
;\n
- a solução procurada é a funçãodefinida para .\n
O objetivo é usar a transformada de Laplace para encontrar.]
Passo 2
Vou resumir a ferramenta que usaremos: a transformada de Laplace. Definição e propriedades necessárias:
onde
é uma variável complexa com parte real suficientemente grande para garantir convergência. Denotamos
.
Propriedades essenciais (que usamos sem demonstrar totalmente, mas explico o que significam):
- Transformada de derivadas:
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada às derivadas; elas conectam as condições iniciais com
.
- Transformada de exponencial:
No nosso caso usaremos
.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, temos:
Usando as fórmulas das derivadas e a transformada da exponencial, substituímos:
Agora substituímos as condições iniciais
e
:
Passo 4
Faço a álgebra para isolar
. Expandindo e recolhendo termos:
Agrupando os termos em
e os termos independentes:
Simplificando o termo constante
, obtemos:
Isolando
:
Como
, temos
Coloco tudo sobre um mesmo denominador para simplificar:
Calculo o numerador:
, somando
dá
. Assim
Passo 5
Agora fazemos frações parciais para inverter a transformada. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Para achar
uso valores convenientes de
:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Portanto as constantes são
,
,
. Logo
Passo 6
Agora uso as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando
termo a termo em
obtemos os componentes da solução no domínio do tempo (vou deixar a soma final apenas na seção de resposta, conforme pedido).