Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=\cos t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a solução do problema de valor inicial no intervalo [0,+\infty)\): \[\begin{cases} y''+y=\cos t,\\[4pt] y(0)=0,\; y'(0)=-1. \end{cases}
Informações dadas:
\;y''+y=\cos t\] é a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea; as condições iniciais são \(\;y(0)=0 e \;y'(0)=-1. A incógnita é a função y(t) definida para t\ge0. A tarefa é determinar y(t) usando a transformada de Laplace.]

Passo 2

Apresento as ferramentas da transformada de Laplace que vou usar (explicando-as de forma didática):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Denotarei Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformadas usuais que precisamos:
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},\qquad \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Explicação rápida: essas fórmulas vêm do cálculo da integral na definição com f(t)=\cos t ou \sin t; são tabelas padrão.
  • Regras para derivadas (muito úteis para problemas com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas surgem da integração por partes na definição da transformada. Aqui y(0) e y'(0) aparecem explicitamente — é isso que nos permite incorporar as condições iniciais sem resolver uma equação para constantes arbitrárias.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial inteira:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{\cos t\}(s).
Substituindo as fórmulas das transformadas:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.
Agora uso as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-1. Assim
s^{2}Y(s)-s\cdot 0-(-1)+Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
ou seja
(s^{2}+1)Y(s)+1=\frac{s}{s^{2}+1}.
Isolando Y(s):
(s^{2}+1)Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1}-1,
Y(s)=\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1}.
Fiz uma separação conveniente em duas frações que são fáceis de transformar inversamente.

Passo 4

Agora preciso aplicar a transformada inversa termo a termo. Para isso uso outra propriedade útil:
  • Propriedade do fator t: \mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\big).
    Vou aplicar essa propriedade com f(t)=\sin t, cuja transformada é F(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}. Calculo a derivada:
-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Isso mostra que
\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}=\mathcal{L}\{t\sin t\}(s).
Portanto
\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{t\sin t\}(s).
Também já sabemos a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Usando essas inversas termo a termo em
Y(s)=\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1},
obtemos
y(t)=\frac{1}{2}\,t\sin t-\sin t.
Posso fatorar \sin t para ficar mais bonito:
y(t)=\left(\frac{t}{2}-1\right)\sin t.

Passo 5

Verificação rápida (para eu te deixar mais confiante): confira as condições iniciais e a equação.
  • Em t=0: \sin 0=0 então y(0)=0, ok.
  • Derivando y(t)=\big(\tfrac{t}{2}-1\big)\sin t:
y'(t)=\frac{1}{2}\sin t+\left(\frac{t}{2}-1\right)\cos t,
logo y'(0)=0+\big(0-1\big)\cdot 1=-1, ok.
  • Podemos também checar a equação: calculando y''+y (fazendo uma derivação a mais) obtém-se exatamente \cos t — as partes envolvendo \sin t com coeficiente (\tfrac{t}{2}-1) se cancelam, sobrando \cos t. Então está tudo consistente.

Resposta

\displaystyle y(t)=\left(\frac{t}{2}-1\right)\sin t

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