Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a solução do problema de valor inicial no intervalo
Informações dadas:
e . A incógnita é a função
definida para
. A tarefa é determinar
usando a transformada de Laplace.]
e
Passo 2
Apresento as ferramentas da transformada de Laplace que vou usar (explicando-as de forma didática):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
Denotarei
.
- Transformadas usuais que precisamos:
Explicação rápida: essas fórmulas vêm do cálculo da integral na definição com
ou
; são tabelas padrão.
- Regras para derivadas (muito úteis para problemas com condições iniciais):
Essas fórmulas surgem da integração por partes na definição da transformada. Aqui
e
aparecem explicitamente — é isso que nos permite incorporar as condições iniciais sem resolver uma equação para constantes arbitrárias.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial inteira:
Substituindo as fórmulas das transformadas:
Agora uso as condições iniciais
e
. Assim
ou seja
Isolando
:
Fiz uma separação conveniente em duas frações que são fáceis de transformar inversamente.
Passo 4
Agora preciso aplicar a transformada inversa termo a termo. Para isso uso outra propriedade útil:
- Propriedade do fator
: .
Vou aplicar essa propriedade com, cuja transformada é . Calculo a derivada:
Isso mostra que
Portanto
Também já sabemos a transformada inversa
Usando essas inversas termo a termo em
obtemos
Posso fatorar
para ficar mais bonito:
Passo 5
Verificação rápida (para eu te deixar mais confiante): confira as condições iniciais e a equação.
- Em
: então , ok. - Derivando
:
logo
, ok.
- Podemos também checar a equação: calculando
(fazendo uma derivação a mais) obtém-se exatamente — as partes envolvendo com coeficiente se cancelam, sobrando . Então está tudo consistente.