Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c) x^prime prime+x & =de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = de
com as condições iniciais e . Aqui, é a função delta de Dirac, que é uma “força” aplicada no tempo . Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções como a delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde Ly'' = s^2 Y(s) é a transformada de Laplace de s^2 Y(s) + Y(s) = Lde. Como as condições iniciais são e , isso simplifica as coisas:
E a transformada de é simplesmente . Então, aplicando a transformada de Laplace na equação original:

Passo 3

Agora, precisamos saber a transformada de Laplace da função delta de Dirac. A propriedade é:
Lde
Então, nossa equação no domínio de s^2 Y(s) + Y(s) = e^-s t0 fica:

Passo 4

Vamos fatorar Y(s)(s^2 + 1) = e^-s t0 na equação:
Y(s) = e^-s t0s^2 + 1
Para resolver para , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo. Sabemos que:
L^-11s^2 + 1 = sin(t)
E usando a propriedade de deslocamento no tempo, onde:
L^-1e^-s t0s^2 + 1 = sin(t - t0) cdot u(t - t0)
Aqui, é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função seno a partir de .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = sin(t - t0) cdot u(t - t0)

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