Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Aqui,
é a função delta de Dirac, que é uma “força” aplicada no tempo
. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções como a delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde
é a transformada de Laplace de
. Como as condições iniciais são
e
, isso simplifica as coisas:
E a transformada de
é simplesmente
. Então, aplicando a transformada de Laplace na equação original:
Passo 3
Agora, precisamos saber a transformada de Laplace da função delta de Dirac. A propriedade é:
Então, nossa equação no domínio de
fica:
Passo 4
Vamos fatorar
na equação:
Para resolver para
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo. Sabemos que:
E usando a propriedade de deslocamento no tempo, onde:
Aqui,
é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função seno a partir de
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: