1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
    h) mathscrL6 e^-3 x-x^2+2 x-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função . Neste caso, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace e vamos precisar das fórmulas básicas para transformar funções comuns. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma ferramenta que converte funções do tempo para a frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A notação para a transformada de Laplace de uma função é .

Passo 3

Vamos separar a função em partes para facilitar a transformação:
mathscrL6 e^-3 x - x^2 + 2 x - 8 = 6 mathscrLe^-3x - mathscrLx^2 + 2 mathscrLx - mathscrL8

Passo 4

Vamos calcular cada transformada individualmente:
  1. Transformada de mathscrLe^-3x = 1s + 3 :
    A fórmula é mathscrLx^2 = 2!s^3 = 2s^3 .
    Aqui, mathscrLx = 1!s^2 = 1s^2 , então:
    mathscrL8 = 8s
  2. Transformada de :
    A fórmula é .
    Para :
  3. Transformada de :
    Para :
  4. Transformada de uma constante :
    A fórmula é .
    Portanto:

Passo 5

Substituindo todas as transformadas na expressão original:
6 mathscrLe^-3x - mathscrLx^2 + 2 mathscrLx - mathscrL8 = 6 ( 1s + 3 ) - 2s^3 + 2 ( 1s^2 ) - 8s

Passo 6

Simplificando a expressão:
mathscrL6 e^-3 x - x^2 + 2 x - 8 = 6s + 3 - 2s^3 + 2s^2 - 8s

Resposta

A transformada de Laplace da função mathscrL6 e^-3 x - x^2 + 2 x - 8 = 6s + 3 - 2s^3 + 2s^2 - 8s é:

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