Calcule:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o integral
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para isso, precisamos simplificar a expressão e, possivelmente, fazer uma decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do integral. Observe que
é igual a
. Como estamos integrando de 0 a 1 e
é positivo nesse intervalo, podemos simplificar para
. Assim, o integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração:
Mas para facilitar a integração, vamos deixar a expressão original:
Passo 4
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos, temos:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação,
Então,
Passo 7
Agora que temos A e B, a decomposição fica:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Calculando as integrais:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 10
Simplificando os valores:
Então:
Considerando a convergência correta:
Resposta
A integral vale
.