Calcule:
n) integral0^1 xraiz1-x^2(x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções racionais. Para isso, precisamos simplificar a expressão e, possivelmente, fazer uma decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do integral. Observe que integral0^1 x(1 - x)(x + 1) dx é igual a . Como estamos integrando de 0 a 1 e é positivo nesse intervalo, podemos simplificar para . Assim, o integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração:
x(1 - x)(x + 1) = x- (x - 1)(x + 1) = -x(x - 1)(x + 1)
Mas para facilitar a integração, vamos deixar a expressão original:
x(1 - x)(x + 1)

Passo 4

Vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
x(1 - x)(x + 1) = A1 - x + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por x = A(x + 1) + B(1 - x) , temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
x = A x + A + B - B x
Agrupando os termos semelhantes:
x = (A - B)x + (A + B)
Comparando os coeficientes dos termos, temos:
A - B = 1
A + B = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, (-B) - B = 1 . Substituindo na primeira equação:
-2B = 1
B = -12
Então,

Passo 7

Agora que temos A e B, a decomposição fica:
x(1 - x)(x + 1) = 121 - x + -12x + 1
Simplificando:
x(1 - x)(x + 1) = 12 ( 11 - x - 1x + 1 )

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral0^1 x(1 - x)(x + 1) dx = 12 ( integral0^1 11 - x dx - integral0^1 1x + 1 dx )

Passo 9

Calculando as integrais:
integral 11 - x dx = -ln|1 - x| + C
integral 1x + 1 dx = ln|x + 1| + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
12 ( [ -ln(1 - 1) + ln(1 - 0) ] - [ ln(1 + 1) - ln(0 + 1) ] )

Passo 10

Simplificando os valores:
ln(1 - 1) ) tende ao infinito negativo, mas mu= [ ln(1 - 0) = ln(1) = 0
Então:
ln(2) - ln(1) = ln(2)
Considerando a convergência correta:
12 ( [ infty + 0 ] - [ ln(2) - 0 ] )

Resposta

A integral vale .

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