Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y^{\prime}+4 y=e^{4 t}, y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
y' + 4y = e^{4t},\quad y(0)=0.
O que se pede é encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação e a condição inicial. As informações relevantes são: a equação é linear de 1.º ordem, o termo independente é e^{4t} e a condição inicial é y(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Breve aula sobre a Transformada de Laplace (sem medo, é simples): a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Propriedades úteis que vamos usar:
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s); e a transformada é linear, isto é
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
Também recorde a transformada básica
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válida para \operatorname{Re}(s)>a. Essas fórmulas são suficientes para a resolução.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Temos, usando \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0) e y(0)=0,
\mathcal{L}\{y'\}(s)+4\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{e^{4t}\}(s).
Ou seja,
sY(s)-y(0)+4Y(s)=\frac{1}{s-4}.
Substituindo y(0)=0 obtemos
sY(s)+4Y(s)=\frac{1}{s-4}.

Passo 4

Factorizando Y(s) e resolvendo algebricamente:
Y(s)(s+4)=\frac{1}{s-4}\quad\Rightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{(s-4)(s+4)}.
Agora precisamos inverter a transformada. Fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{(s-4)(s+4)}=\frac{A}{s-4}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-4)(s+4)
1=A(s+4)+B(s-4).
Escolhendo valores de s para achar A e B: para s=4 vem 1=8A, então A=\tfrac{1}{8}. Para s=-4 vem 1=-8B, então B=-\tfrac{1}{8}. Logo
Y(s)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s-4}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 5

Invertemos a transformada usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at} e linearidade:
y(t)=\frac{1}{8}e^{4t}-\frac{1}{8}e^{-4t}.
Podemos escrever de forma equivalente usando a função seno hiperbólico:
y(t)=\frac{1}{8}\bigl(e^{4t}-e^{-4t}\bigr)=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(4t).
Para me certificar (e te deixar mais confiante): calcule y' e substitua na EDO. Fazendo y'(t)=\operatorname{cosh}(4t) (pois y'(t)=\tfrac{1}{4}\cdot 4\operatorname{cosh}(4t)=\operatorname{cosh}(4t)) e 4y(t)=\operatorname{sinh}(4t). Assim y'+4y=\operatorname{cosh}(4t)+\operatorname{sinh}(4t)=e^{4t}, que é exatamente o lado direito, e y(0)=\tfrac{1}{8}(1-1)=0. Tudo bate.

Resposta

y(t)=\frac{1}{8}\bigl(e^{4t}-e^{-4t}\bigr)=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(4t).

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