Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede é encontrar a solução
que satisfaz essa equação e a condição inicial. As informações relevantes são: a equação é linear de 1.º ordem, o termo independente é
e a condição inicial é
. Vamos usar transformada de Laplace para resolver.
Passo 2
Breve aula sobre a Transformada de Laplace (sem medo, é simples): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
Propriedades úteis que vamos usar:
onde
; e a transformada é linear, isto é
Também recorde a transformada básica
válida para
. Essas fórmulas são suficientes para a resolução.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denote
. Temos, usando
e
,
Ou seja,
Substituindo
obtemos
Passo 4
Factorizando
e resolvendo algebricamente:
Agora precisamos inverter a transformada. Fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
Escolhendo valores de
para achar
e
: para
vem
, então
. Para
vem
, então
. Logo
Passo 5
Invertemos a transformada usando
e linearidade:
Podemos escrever de forma equivalente usando a função seno hiperbólico:
Para me certificar (e te deixar mais confiante): calcule
e substitua na EDO. Fazendo
(pois
) e
. Assim
, que é exatamente o lado direito, e
. Tudo bate.