- Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Vou listar exatamente o que cada item pede e quais são os dados fornecidos (ou seja, quais equações e quais condições iniciais). Não vou resolver nada ainda, só organizar os enunciados para ficar claro o que precisamos achar.
(a) Determinar a solução da equação
com condições iniciais
e
.
(b) Determinar a solução da equação
com
e
.
(c) Determinar a solução da equação
com
e
.
(d) Determinar a solução da equação
com
e
.
(e) Determinar a solução da equação
com
e
.
(f) Determinar a solução da equação
com
e
.
(g) Determinar a solução da equação
com
e
.
Passo 2
Explico a técnica básica que usarei para todos: para equações lineares com coeficientes constantes e segundo ordem, a solução geral tem a soma de duas partes:
-
solução complementar (homogênea)
: resolvemos a equação característica para obter as raízes e a forma de ; -
solução particular
: usamos o método dos coeficientes não determinados (ou variação de parâmetros quando necessário). No método dos coeficientes não determinados, escolhemos um tipo de tentativa para dependendo do lado direito (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses) e se houver “ressonância” (ou seja, a forma tentativa aparece em ), multiplicamos a tentativa por , onde é a multiplicidade da raiz que causa a ressonância.
Vou aplicar passo a passo esse procedimento em cada item, mostrando os cálculos das derivadas, da substituição e de como determinar constantes por comparação de coeficientes e pelas condições iniciais.
Passo 3
Primeiro achamos a solução complementar resolvendo a característica:
logo
e
. Então
O termo à direita é um polinômio de grau 1 (
), então tentamos
Calculamos derivadas:
e
. Substituindo na equação:
Agrupando termos:
Comparando coeficientes:
. E
. Assim
A solução geral é
Usamos as condições iniciais. Em
:
Derivando a solução geral:
então em
:
Resolvendo o sistema
e
obtemos
e
. Logo a solução final do item (a) é
Passo 4
Característica:
raiz dupla
, então
O termo não-homogêneo é
. Vamos separar: o termo
exige uma tentativa constante
. O termo
é da forma
vezes polinômio de grau 1; porém
corresponde à raiz
de multiplicidade 2 na homogênea, então multiplicamos a tentativa por
. Assim tentamos
para gerar as derivadas necessárias, e
para a constante
.
Há uma maneira prática de calcular
com
: para
vale
Então, para
temos
Queremos
. Assim
Para a parte constante
: substituindo
em
dá
, que deve ser
, então
.
Logo
e a solução geral é
Aplicando condições iniciais: em
,
Derivando
: escrevendo
com
, obtemos
. Em
temos
,
, então
Com
resulta
. Portanto a solução do item (b) é
Passo 5
Característica:
portanto
e
, e
O lado direito é
. Como
não é raiz da característica, usamos a tentativa da forma
Calculamos derivadas. Para
com
:
ou calculando diretamente nos dá
Mas vamos fazer passo a passo: com
obtemos
,
. Substituindo nas fórmulas dá
Simplificando os termos (detalhes mostrados no cálculo) resulta
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Logo
A solução geral é
Condições iniciais: em
,
Derivando (feitos os cálculos detalhados) obtemos
então em
:
Resolvendo o sistema
e
dá
e
. Portanto a solução do item (c) é
Passo 6
Característica:
portanto a solução complementar é
O lado direito é soma de um polinômio
e de
; tratamos separadamente.
Para
tentamos um polinômio de grau 2:
Derivadas:
. Substituindo em
:
Comparando coeficientes:
Logo
.
Para
tentamos
. Substituindo:
Somando,
A solução geral:
Condições iniciais: em
,
Derivando:
assim
Portanto a solução do item (d) é
Passo 7
Característica:
logo a solução complementar é
O termo forçante é
, que tem exatamente a mesma forma funcional (exponencial
multiplicada por coseno de
) que aparece em
. Isso é ressonância: a tentativa padrão
pertence ao espaço das soluções homogêneas, então multiplicamos por
. Assim tentamos
Há um truque conveniente: para operadores lineares com deslocamento
e frequência 2, ao substituir
a equação
transforma-se em
Aplicando isso com
, calculamos
. Fazendo as derivadas (detalhes no cálculo) encontra-se
Queremos isso igual a
(pois o lado direito é
), daí:
Portanto
e
A solução geral é
Condições iniciais:
. Para
fazemos
com
. Avaliando em
dá
. Como
segue
. Logo a solução do item (e) é
Passo 8
Característica:
portanto
.
O lado direito é o polinômio . Como
não é raiz da característica, não há ressonância com polinômios, então tentamos
O lado direito é o polinômio
Derivadas:
,
. Substituindo em
:
Comparando coeficientes: do
vem
. Da constante:
. Assim
.
A solução geral:
Condições iniciais:
. Derivando
:
então em
:
Portanto a solução do item (f) é
Passo 9
Característica:
então
O lado direito é constante
; tentamos
. Substituindo:
Assim a solução geral é
Aplicamos as condições em
. Observação:
, e
. Denote
. Então
A derivada é
. Em
:
Dividindo as duas equações por
e resolvendo o sistema
somando as equações dá
. Então
.
Portanto a solução do item (g) é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)