1. Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
    (a) y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 x, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1
    (b) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \cdot \frac{d y}{d x}+y=x e^{x}+4, \quad y(0)=1, \frac{d y}{d x}(0)=1
    (c) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \cdot \frac{d y}{d x}-3 y=3 x e^{2 x}, \quad y(0)=1, \frac{d y}{d x}(0)=0
    (d) y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}+3 e^{x}, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=2
    (e) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-x} \cos (2 x), \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
    (f) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x, \quad y(0)=3, y^{\prime}(0)=1
    (g) y^{\prime \prime}+4 y=-2, \quad y\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{2}, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=2

Passo 1

Vou listar exatamente o que cada item pede e quais são os dados fornecidos (ou seja, quais equações e quais condições iniciais). Não vou resolver nada ainda, só organizar os enunciados para ficar claro o que precisamos achar.
(a) Determinar a solução da equação
y'' + y' - 2y = 2x,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
(b) Determinar a solução da equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} + y = x e^{x} + 4,
com y(0)=1 e y'(0)=1.
(c) Determinar a solução da equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2\frac{dy}{dx} - 3y = 3x e^{2x},
com y(0)=1 e y'(0)=0.
(d) Determinar a solução da equação
y'' + 4y = x^{2} + 3 e^{x},
com y(0)=0 e y'(0)=2.
(e) Determinar a solução da equação
y'' + 2y' + 5y = 4 e^{-x}\cos(2x),
com y(0)=1 e y'(0)=0.
(f) Determinar a solução da equação
y'' - 2y' + y = x,
com y(0)=3 e y'(0)=1.
(g) Determinar a solução da equação
y'' + 4y = -2,
com y\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\tfrac{1}{2} e y'\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=2.

Passo 2

Explico a técnica básica que usarei para todos: para equações lineares com coeficientes constantes e segundo ordem, a solução geral tem a soma de duas partes:
  1. solução complementar (homogênea) y_{c}: resolvemos a equação característica para obter as raízes r e a forma de y_{c};
  2. solução particular y_{p}: usamos o método dos coeficientes não determinados (ou variação de parâmetros quando necessário). No método dos coeficientes não determinados, escolhemos um tipo de tentativa para y_{p} dependendo do lado direito (polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto desses) e se houver “ressonância” (ou seja, a forma tentativa aparece em y_{c}), multiplicamos a tentativa por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz que causa a ressonância.
Vou aplicar passo a passo esse procedimento em cada item, mostrando os cálculos das derivadas, da substituição e de como determinar constantes por comparação de coeficientes e pelas condições iniciais.

Passo 3

Primeiro achamos a solução complementar resolvendo a característica:
r^{2}+r-2=0 \implies (r+2)(r-1)=0,
logo r=1 e r=-2. Então
y_{c}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}.
O termo à direita é um polinômio de grau 1 ( 2x), então tentamos
y_{p}=Ax+B.
Calculamos derivadas: y_{p}'=A e y_{p}''=0. Substituindo na equação:
0 + A - 2(Ax+B) = 2x.
Agrupando termos:
(-2A)x + (A - 2B) = 2x.
Comparando coeficientes: -2A = 2 \Rightarrow A=-1. E A-2B=0 \Rightarrow -1 -2B =0 \Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}. Assim
y_{p}=-x - \tfrac{1}{2}.
A solução geral é
y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-2x} - x - \tfrac{1}{2}.
Usamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{2}=0 \Rightarrow C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2}.
Derivando a solução geral:
y' = C_{1}e^{x} - 2C_{2}e^{-2x} -1,
então em x=0:
y'(0)=C_{1}-2C_{2}-1=1 \Rightarrow C_{1}-2C_{2}=2.
Resolvendo o sistema C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2} e C_{1}-2C_{2}=2 obtemos C_{2}=-\tfrac{1}{2} e C_{1}=1. Logo a solução final do item (a) é
y = e^{x} - \tfrac{1}{2}e^{-2x} - x - \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Característica:
r^{2}-2r+1=0 \implies (r-1)^{2}=0,
raiz dupla r=1, então
y_{c}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}.
O termo não-homogêneo é x e^{x} + 4. Vamos separar: o termo 4 exige uma tentativa constante D. O termo x e^{x} é da forma e^{x} vezes polinômio de grau 1; porém e^{x} corresponde à raiz r=1 de multiplicidade 2 na homogênea, então multiplicamos a tentativa por x^{2}. Assim tentamos
y_{p1}=e^{x}(A x^{3} + B x^{2}) \quad\text{(isso equivale a }x^{2}e^{x}(Ax + B)\text{)},
para gerar as derivadas necessárias, e
y_{p2}=D,
para a constante 4.
Há uma maneira prática de calcular L[e^{x}P(x)] com L=D^{2}-2D+1=(D-1)^{2}: para y=e^{x}P(x) vale
L[y]=e^{x}P''(x).
Então, para P(x)=Ax^{3}+Bx^{2} temos
P''(x)=6Ax + 2B.
Queremos e^{x}P''(x) = x e^{x}. Assim
6A x + 2B = x \implies 6A=1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{6},\quad 2B=0 \Rightarrow B=0.
Para a parte constante D: substituindo y=D em L[y] D, que deve ser 4, então D=4.
Logo
y_{p}=\tfrac{1}{6}x^{3}e^{x} + 4,
e a solução geral é
y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x} + \tfrac{1}{6}x^{3}e^{x} + 4.
Aplicando condições iniciais: em x=0,
y(0)=C_{1}+4=1 \Rightarrow C_{1}=-3.
Derivando y: escrevendo y=e^{x}Q(x)+4 com Q=C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{6}x^{3}, obtemos y'=e^{x}(Q+Q'). Em x=0 temos Q(0)=C_{1}, Q'(0)=C_{2}, então
y'(0)=C_{1}+C_{2}=1.
Com C_{1}=-3 resulta C_{2}=4. Portanto a solução do item (b) é
y = e^{x}\!\Big(-3 + 4x + \tfrac{1}{6}x^{3}\Big) + 4.

Passo 5

Característica:
r^{2}-2r-3=0 \implies (r-3)(r+1)=0,
portanto r=3 e r=-1, e
y_{c}=C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-x}.
O lado direito é 3x e^{2x}. Como 2 não é raiz da característica, usamos a tentativa da forma
y_{p}=e^{2x}(Ax + B).
Calculamos derivadas. Para y_{p}=e^{2x}P(x) com P(x)=Ax+B:
y_{p}'=e^{2x}(2P+P'),\qquad y_{p}''=e^{2x}(4P+4P'+P''),
ou calculando diretamente nos dá
y_{p}'' -2y_{p}' -3y_{p} = e^{2x}(P'' - ???)
Mas vamos fazer passo a passo: com P=Ax+B obtemos P'=A, P''=0. Substituindo nas fórmulas dá
y_{p}'' -2y_{p}' -3y_{p} = e^{2x}\big(4Ax + 4B +4A -2(2Ax +2B +A) -3(Ax+B)\big).
Simplificando os termos (detalhes mostrados no cálculo) resulta
e^{2x}(-3Ax -3B + 2A).
Isso deve ser igual a 3x e^{2x}. Igualando coeficientes:
-3A = 3 \Rightarrow A=-1,\qquad -3B + 2A = 0 \Rightarrow -3B -2 =0 \Rightarrow B=-\tfrac{2}{3}.
Logo
y_{p} = e^{2x}\!\big(-x - \tfrac{2}{3}\big).
A solução geral é
y = C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-x} - x e^{2x} - \tfrac{2}{3} e^{2x}.
Condições iniciais: em x=0,
y(0)=C_{1}+C_{2} - \tfrac{2}{3} =1 \Rightarrow C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}.
Derivando (feitos os cálculos detalhados) obtemos
y' = 3C_{1}e^{3x} - C_{2}e^{-x} - (2x + \tfrac{7}{3})e^{2x},
então em x=0:
y'(0)=3C_{1} - C_{2} - \tfrac{7}{3} = 0 \Rightarrow 3C_{1} - C_{2} = \tfrac{7}{3}.
Resolvendo o sistema C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3} e 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3} C_{1}=1 e C_{2}=\tfrac{2}{3}. Portanto a solução do item (c) é
y = e^{3x} + \tfrac{2}{3}e^{-x} - x e^{2x} - \tfrac{2}{3}e^{2x}.

Passo 6

Característica:
r^{2}+4=0 \Rightarrow r=\pm 2i,
portanto a solução complementar é
y_{c}=C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x.
O lado direito é soma de um polinômio x^{2} e de 3e^{x}; tratamos separadamente.
Para x^{2} tentamos um polinômio de grau 2:
y_{p1}=ax^{2}+bx+c.
Derivadas: y_{p1}''=2a. Substituindo em y''+4y=x^{2}:
2a + 4(ax^{2}+bx+c)=x^{2}.
Comparando coeficientes:
x^{2}:\;4a=1 \Rightarrow a=\tfrac{1}{4},
x:\;4b=0 \Rightarrow b=0,
\text{const: }2a + 4c =0 \Rightarrow 2\cdot\tfrac{1}{4} + 4c=0 \Rightarrow c=-\tfrac{1}{8}.
Logo y_{p1}=\tfrac{1}{4}x^{2} - \tfrac{1}{8}.
Para 3e^{x} tentamos y_{p2}=A e^{x}. Substituindo:
y_{p2}'' + 4 y_{p2} = A e^{x} + 4A e^{x} = 5A e^{x} = 3 e^{x} \Rightarrow A=\tfrac{3}{5}.
Somando,
y_{p} = \tfrac{1}{4}x^{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}e^{x}.
A solução geral:
y = C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + \tfrac{1}{4}x^{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}e^{x}.
Condições iniciais: em x=0,
y(0)=C_{1} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}=0 \Rightarrow C_{1} = -\big(-\tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}\big) = -\tfrac{19}{40}.
Derivando:
y' = -2C_{1}\sin 2x + 2C_{2}\cos 2x + \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{5}e^{x},
assim y'(0)=2C_{2} + \tfrac{3}{5} = 2 \Rightarrow 2C_{2} = 2 - \tfrac{3}{5} = \tfrac{7}{5} \Rightarrow C_{2}=\tfrac{7}{10}.
Portanto a solução do item (d) é
y = -\tfrac{19}{40}\cos 2x + \tfrac{7}{10}\sin 2x + \tfrac{1}{4}x^{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}e^{x}.

Passo 7

Característica:
r^{2}+2r+5=0 \Rightarrow r=-1 \pm 2i,
logo a solução complementar é
y_{c}=e^{-x}\big(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x\big).
O termo forçante é 4e^{-x}\cos 2x, que tem exatamente a mesma forma funcional (exponencial e^{-x} multiplicada por coseno de 2x) que aparece em y_{c}. Isso é ressonância: a tentativa padrão e^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x) pertence ao espaço das soluções homogêneas, então multiplicamos por x. Assim tentamos
y_{p} = x e^{-x}\big(A\cos 2x + B\sin 2x\big).
Há um truque conveniente: para operadores lineares com deslocamento D+1 e frequência 2, ao substituir y=e^{-x}u(x) a equação y''+2y'+5y = f(x) transforma-se em
e^{-x}\big(u'' + 4u\big) = f(x).
Aplicando isso com u(x)=x(A\cos 2x + B\sin 2x), calculamos u''+4u. Fazendo as derivadas (detalhes no cálculo) encontra-se
u'' + 4u = 4B\cos 2x - 4A \sin 2x.
Queremos isso igual a 4\cos 2x (pois o lado direito é 4e^{-x}\cos 2x), daí:
4B = 4 \Rightarrow B=1,\qquad -4A = 0 \Rightarrow A=0.
Portanto u(x)=x\sin 2x e
y_{p}=x e^{-x}\sin 2x.
A solução geral é
y = e^{-x}\big(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x\big) + x e^{-x}\sin 2x.
Condições iniciais: y(0)=C_{1}=1. Para y'(0)=0 fazemos y'=e^{-x}(V'-V) com V=C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x + x\sin 2x. Avaliando em 0 y'(0)=2C_{2}-C_{1}=0. Como C_{1}=1 segue C_{2}=\tfrac{1}{2}. Logo a solução do item (e) é
y = e^{-x}\!\Big(\cos 2x + \tfrac{1}{2}\sin 2x\Big) + x e^{-x}\sin 2x.

Passo 8

Característica:
r^{2}-2r+1=0 \implies (r-1)^{2}=0,
portanto y_{c}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}.
O lado direito é o polinômio x. Como e^{0x} não é raiz da característica, não há ressonância com polinômios, então tentamos
y_{p}=ax + b.
Derivadas: y_{p}'=a, y_{p}''=0. Substituindo em y'' - 2y' + y = x:
0 - 2a + (ax + b) = x.
Comparando coeficientes: do x vem a=1. Da constante: -2a + b =0 \Rightarrow -2 + b=0 \Rightarrow b=2. Assim y_{p}=x+2.
A solução geral:
y = (C_{1}+C_{2}x)e^{x} + x + 2.
Condições iniciais: y(0)=C_{1}+2=3 \Rightarrow C_{1}=1. Derivando y:
y' = e^{x}(C_{1} + C_{2}x + C_{2}) + 1,
então em x=0:
y'(0)=C_{1}+C_{2}+1=1 \Rightarrow 1 + C_{2} + 1 = 1 \Rightarrow C_{2} = -1.
Portanto a solução do item (f) é
y = (1 - x)e^{x} + x + 2.

Passo 9

Característica:
r^{2}+4=0 \Rightarrow r=\pm 2i,
então
y_{c}=C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x.
O lado direito é constante -2; tentamos y_{p}=D. Substituindo:
0 + 4D = -2 \Rightarrow D = -\tfrac{1}{2}.
Assim a solução geral é
y = C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x - \tfrac{1}{2}.
Aplicamos as condições em x_{0}=\tfrac{\pi}{8}. Observação: 2\cdot \tfrac{\pi}{8}=\tfrac{\pi}{4}, e \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Denote k=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
y\!\big(\tfrac{\pi}{8}\big)=C_{1}k + C_{2}k - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} \Rightarrow C_{1}k + C_{2}k =1.
A derivada é y'=-2C_{1}\sin 2x + 2C_{2}\cos 2x. Em x=\tfrac{\pi}{8}:
y'\!\big(\tfrac{\pi}{8}\big) = -2C_{1}k + 2C_{2}k = 2 \Rightarrow -C_{1}k + C_{2}k =1.
Dividindo as duas equações por k e resolvendo o sistema
C_{1} + C_{2} = \tfrac{1}{k},\qquad -C_{1} + C_{2} = \tfrac{1}{k},
somando as equações dá 2C_{2} = \tfrac{2}{k} \Rightarrow C_{2}=\tfrac{1}{k} = \tfrac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}. Então C_{1}=0.
Portanto a solução do item (g) é
y = \sqrt{2}\,\sin 2x - \tfrac{1}{2}.

Resposta

(a) y = e^{x} - \tfrac{1}{2}e^{-2x} - x - \tfrac{1}{2}.
(b) y = e^{x}\!\Big(-3 + 4x + \tfrac{1}{6}x^{3}\Big) + 4.
(c) y = e^{3x} + \tfrac{2}{3}e^{-x} - x e^{2x} - \tfrac{2}{3}e^{2x}.
(d) y = -\tfrac{19}{40}\cos 2x + \tfrac{7}{10}\sin 2x + \tfrac{1}{4}x^{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}e^{x}.
(e) y = e^{-x}\!\Big(\cos 2x + \tfrac{1}{2}\sin 2x\Big) + x e^{-x}\sin 2x.
(f) y = (1 - x)e^{x} + x + 2.
(g) y = \sqrt{2}\,\sin 2x - \tfrac{1}{2}.

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