\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=3 x-\sqrt{3} y-1 \\\ y(2)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx}=3x-\sqrt{3}\,y-1,\\[6pt] y(2)=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(2)=1.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão linear. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
A equação dada é
\displaystyle \frac{dy}{dx}=3x-\sqrt{3}\,y-1.
Passando o termo com y para o lado esquerdo obtemos
\displaystyle \frac{dy}{dx}+\sqrt{3}\,y=3x-1.
Aqui temos p(x)=\sqrt{3} (constante) e q(x)=3x-1.

Passo 3

Apresentar o método a usar: fator integrante. Explico o porquê e a fórmula. Para resolver
\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)
definimos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo em a derivada do produto \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,q(x).
Depois integramos para achar \mu(x)\,y e isolamos y. Vou aplicar isto com p(x)=\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular o fator integrante. Como p(x)=\sqrt{3} (constante), temos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \sqrt{3}\,dx\Big)=\exp\big(\sqrt{3}\,x\big).
Então multiplicamos a equação padrão por \mu(x):
e^{\sqrt{3}x}\left(\frac{dy}{dx}+\sqrt{3}\,y\right)=e^{\sqrt{3}x}(3x-1).
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\Big(e^{\sqrt{3}x}y\Big)=e^{\sqrt{3}x}(3x-1).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\Big(e^{\sqrt{3}x}y\Big)\,dx=\int e^{\sqrt{3}x}(3x-1)\,dx.
Logo
e^{\sqrt{3}x}y=\int e^{\sqrt{3}x}(3x-1)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora preciso calcular a integral \displaystyle \int e^{\sqrt{3}x}(3x-1)\,dx. Para ficar mais limpo, defino a=\sqrt{3}. Então a integral é \displaystyle \int e^{ax}(3x-1)\,dx.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int e^{ax}(3x-1)\,dx passo a passo usando integração por partes para o termo com x. Escrevo a integral separando termos:
\int e^{ax}(3x-1)\,dx = 3\int x e^{ax}\,dx - \int e^{ax}\,dx.
Primeiro calcular \int x e^{ax}\,dx. Aplicando integração por partes: escolha u=x e dv=e^{ax}dx. Então du=dx e v=\frac{1}{a}e^{ax}. Assim
\int x e^{ax}\,dx = x\cdot\frac{e^{ax}}{a} - \int \frac{e^{ax}}{a}\,dx = \frac{x e^{ax}}{a} - \frac{1}{a}\cdot\frac{e^{ax}}{a} = \frac{x e^{ax}}{a} - \frac{e^{ax}}{a^2}.
Multiplicando por 3:
3\int x e^{ax}\,dx = \frac{3x e^{ax}}{a} - \frac{3e^{ax}}{a^2}.
Agora subtrair \int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a}. Portanto
\int e^{ax}(3x-1)\,dx = \frac{3x e^{ax}}{a} - \frac{3e^{ax}}{a^2} - \frac{e^{ax}}{a}.
Colocando e^{ax} em evidência:
\int e^{ax}(3x-1)\,dx = e^{ax}\left(\frac{3x}{a} - \frac{3}{a^2} - \frac{1}{a}\right) + C.
Agrupando os termos constantes:
\frac{3}{a^2}+\frac{1}{a}=\frac{3+a}{a^2},
logo
\int e^{ax}(3x-1)\,dx = e^{ax}\left(\frac{3x}{a}-\frac{3+a}{a^2}\right)+C.

Passo 7

Retornar à expressão para y. Lembrando que a=\sqrt{3} e que
e^{\sqrt{3}x}y = e^{\sqrt{3}x}\left(\frac{3x}{\sqrt{3}}-\frac{3+\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}\right)+C,
podemos simplificar. Note que (\sqrt{3})^2=3 e \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}. Assim
e^{\sqrt{3}x}y = e^{\sqrt{3}x}\Big(\sqrt{3}\,x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}\Big)+C.
Agora isolamos y dividindo por e^{\sqrt{3}x}:
y(x)=\sqrt{3}\,x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}+C\,e^{-\sqrt{3}x}.
Podemos também escrever \dfrac{3+\sqrt{3}}{3}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3} se for mais intuitivo.

Passo 8

Determinar a constante C usando a condição inicial y(2)=1. Substituo x=2 em
y(x)=\sqrt{3}\,x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}+C\,e^{-\sqrt{3}x}
para obter
1=\sqrt{3}\cdot 2-\frac{3+\sqrt{3}}{3}+C\,e^{-2\sqrt{3}}.
Calculo cada termo numérico passo a passo. Primeiro \sqrt{3}\cdot 2=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}. Também \dfrac{3+\sqrt{3}}{3}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}. Portanto
1=2\sqrt{3}-\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+C\,e^{-2\sqrt{3}}.
Isolando C\,e^{-2\sqrt{3}}:
C\,e^{-2\sqrt{3}}=1-2\sqrt{3}+1+\frac{\sqrt{3}}{3}=2-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}.
Agrupando os termos com \sqrt{3}: -2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{6\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}. Assim
C\,e^{-2\sqrt{3}}=2-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{6-5\sqrt{3}}{3}.
Multiplicando ambos os lados por e^{2\sqrt{3}} obtemos
C=e^{2\sqrt{3}}\cdot\frac{6-5\sqrt{3}}{3}.

Passo 9

Colocar a solução final substituindo C. A solução geral com C foi
y(x)=\sqrt{3}\,x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}+C\,e^{-\sqrt{3}x}.
Substituindo o valor de C:
y(x)=\sqrt{3}\,x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}+\left(e^{2\sqrt{3}}\cdot\frac{6-5\sqrt{3}}{3}\right)e^{-\sqrt{3}x}.
Simplificando o fator exponencial:
e^{2\sqrt{3}}e^{-\sqrt{3}x}=e^{\sqrt{3}(2-x)},
logo uma forma mais compacta é
y(x)=\sqrt{3}\,x-\frac{3+\sqrt{3}}{3}+\frac{6-5\sqrt{3}}{3}\,e^{\sqrt{3}(2-x)}.
Também podemos escrever \dfrac{3+\sqrt{3}}{3}=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3} se preferir.

Resposta

y(x)=\sqrt{3}\,x-\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}+\dfrac{6-5\sqrt{3}}{3}\,e^{\sqrt{3}(2-x)}

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