Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valor inicial
y'(t)+y(t)=f(t),\quad y(0)=0,
onde f(t) é uma função conhecida (mas aqui tratamos o caso geral). Informações dadas:
A equação é de primeira ordem, linear, não homogênea.
A condição inicial é y(0)=0.
A tarefa é usar a Transformada de Laplace para obter y(t) em função de f(t).
Passo 2
Vou lembrar a definição e uma propriedade-chave da Transformada de Laplace que usaremos.
A Transformada de Laplace de uma função g(t) (definida para t\ge0) é
onde s é a variável complexa (a gente trata s como um número real maior que algum valor para convergência).
Propriedade importante (derivada): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
Explicação rápida do porquê: aplicando integração por partes em \int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt obtém-se o termo de contorno e^{-st}y(t)\big|_0^\infty (que some sob hipóteses usuais) e fica s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt - y(0), isto é sY(s)-y(0).
Passo 3
Agora aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
Primeiro escrevo a transformada de cada termo:
Usando a propriedade da derivada e denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, obtemos
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+Y(s)=F(s).
Como a condição inicial é y(0)=0, isso simplifica para
sY(s)+Y(s)=F(s).
Fatorando Y(s),
(s+1)Y(s)=F(s).
Logo isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{F(s)}{s+1}.
Passo 4
Agora precisamos voltar ao domínio do tempo (fazer a transformada inversa). Note que Y(s) é produto de F(s) por 1/(s+1). Há duas coisas que usaremos:
A transformada inversa de 1/(s+1) é e^{-t}, porque \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\int_0^\infty e^{-st}e^{-t}dt=\frac{1}{s+1} (válido para \Re(s)>-1).
Teorema da convolução: se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s) e \mathcal{L}\{h(t)\}=H(s), então
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)H(s)\}= (g*h)(t),
onde a convolução (g*h)(t) é definida como
(g*h)(t)=\int_0^t g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aplicando isso ao nosso caso com G(s)=F(s) e H(s)=1/(s+1) (correspondendo a g(t)=f(t) e h(t)=e^{-t}), obtemos
y(t)= (f*e^{-t})(t).
Passo 5
Escrevendo a convolução de forma explícita:
y(t)=\int_0^t f(\tau)\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Essa expressão é a solução geral para y'(t)+y(t)=f(t) com y(0)=0. Podemos rearranjar o integrando para uma forma frequentemente usada (útil na prova e em cálculos):
y(t)=e^{-t}\int_0^t e^{\tau}f(\tau)\,d\tau.
Essa forma surge porque e^{-(t-\tau)}=e^{-t}e^{\tau}. É exatamente a mesma solução que obteríamos usando o método do fator integrante (multiplicando a equação por e^{t} e integrando), então é consistente.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se f(t)=1 (função constante), então