Seja C uma curva fechadas simples no interior de uma curva fechada simples C0 ambas orientadas no sentido anti-horário. Mostre que se f é analítica na região fechada delimitada por C e C0, então
integralC f(z) d z=integralC0 f(z) d z

Passo 1

A questão: temos duas curvas fechadas simples orientadas anti-horário, C no interior de C₀, e f é analítica na região fechada delimitada por C e C₀. O conteúdo aqui é o Teorema de Cauchy para integrais de contorno, que nos diz que se f é analítica em uma região simplesmente conexa, então a integral de f ao longo de qualquer curva fechada nessa região é zero.

Passo 2

Definimos D como a região anular limitada internamente por C e externamente por C₀. A fronteira orientada de D, denotada ∂D, é dada por C₀ percorrida no sentido anti-horário seguido de C percorrida no sentido horário (inverso).

Passo 3

Como f é analítica em D (incluindo a fronteira), pelo Teorema de Cauchy temos que a integral de f em toda a fronteira de D é zero:
integralpartial Df(z),dz=0

Passo 4

Separando a fronteira, e lembrando da orientação, obtemos
integralC0f(z),dz-integralCf(z),dz=0
Rearranjando, chegamos à igualdade desejada.

Resposta

integralCf(z),dz=integralC0f(z),dz.

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