Seja
uma curva fechadas simples no interior de uma curva fechada simples
ambas orientadas no sentido anti-horário. Mostre que se
é analítica na região fechada delimitada por
e
, então
Passo 1
A questão: temos duas curvas fechadas simples orientadas anti-horário, C no interior de C₀, e f é analítica na região fechada delimitada por C e C₀. O conteúdo aqui é o Teorema de Cauchy para integrais de contorno, que nos diz que se f é analítica em uma região simplesmente conexa, então a integral de f ao longo de qualquer curva fechada nessa região é zero.
Passo 2
Definimos D como a região anular limitada internamente por C e externamente por C₀. A fronteira orientada de D, denotada ∂D, é dada por C₀ percorrida no sentido anti-horário seguido de C percorrida no sentido horário (inverso).
Passo 3
Como f é analítica em D (incluindo a fronteira), pelo Teorema de Cauchy temos que a integral de f em toda a fronteira de D é zero:
Passo 4
Separando a fronteira, e lembrando da orientação, obtemos
Rearranjando, chegamos à igualdade desejada.