Q.
. Use o TVI para mostrar que todo polinômio de grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real.
Seja
um polinômio qualquer de grau
. Sem perda de generalidade, vamos supor que
. Deste modo temos que
, visto que
é ímpar. Como
é uma função contínua (por se tratar de um polinômio) em todo
e que muda de sinal, então pelo TVI asseguramos que
se anula, pelo menos uma vez, para algum
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que todo polinômio real de grau ímpar
com
e
ímpar, tem pelo menos uma raiz real. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
. Supondo, sem perda de generalidade, que
, analisamos os limites nas “pontas” do domínio:
e
já que
é ímpar.
Logo, existe algum
tal que
Passo 3
Nos intervalos
, a função
é contínua e assume valores de sinais opostos em
e em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, segue que existe
tal que
Resposta
Pelo Teorema do Valor Intermediário, todo polinômio real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.