Q. 4(1,4). Use o TVI para mostrar que todo polinômio de grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real.

Seja pn(x)=an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio qualquer de grau n. Sem perda de generalidade, vamos supor que an>0. Deste modo temos que lim x +infty pn(x)=lim x +infty an x^n=+infty e lim x -infty pn(x)=lim x -infty an x^n=-infty, visto que n é ímpar. Como pn(x) é uma função contínua (por se tratar de um polinômio) em todo R e que muda de sinal, então pelo TVI asseguramos que f se anula, pelo menos uma vez, para algum x in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que todo polinômio real de grau ímpar
pn(x)=an x^n + an-1x^n-1 + cdots + a1 x + a0,
com anneq0 e n ímpar, tem pelo menos uma raiz real. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Como pn é um polinômio, ela é contínua em todo R. Supondo, sem perda de generalidade, que an>0, analisamos os limites nas “pontas” do domínio:
limxto+inftypn(x) =limxto+inftyan x^n=+infty
e
limxto-inftypn(x) =limxto-inftyan x^n=-infty,
já que n é ímpar.
Logo, existe algum M>0 tal que
pn(M)>0 e pn(-M)<0

Passo 3

Nos intervalos [-M,M], a função pn é contínua e assume valores de sinais opostos em -M e em M. Pelo Teorema do Valor Intermediário, segue que existe x0in[-M,M] tal que
pn(x0)=0

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, todo polinômio real de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

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