Use a 1{ }^{\underline{\mathrm{a}}} parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
G(x)=\int_{1}^{x^{4}} \operatorname{sec} (t) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
G(x)=\int_{1}^{x^{4}}\operatorname{sec}(t)\,dt
usando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas de integrais cujo limite superior depende de x.

Passo 2

Segundo o T.F.C. 1, se definirmos
H(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
H'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Aqui temos f(t)=\operatorname{sec}(t) e u(x)=x^4. Logo,
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\operatorname{sec}(x^4)\cdot\frac{d}{dx}(x^4).

Passo 4

A derivada de x^4 é
\frac{d}{dx}(x^4)=4x^3.
Substituindo em G'(x), obtemos
G'(x)=4x^3\operatorname{sec}(x^4).

Resposta

G'(x)=4x^3\operatorname{sec}(x^4).

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