Use a 1^{\underline{a}} parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
G(x)=\int_{1}^{x^{4}} \operatorname{sec} (t) d t

Passo 1

O enunciado define a função
G(x)=\int_{1}^{x^{4}}\operatorname{sec}(t)\,dt
e pede sua derivada G'(x). Vamos usar a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Pela primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(u)=\int_{a}^{u}f(t)\,dt
então
F'(u)=f(u).
Se o limite superior é uma função u=h(x), a derivada é
\frac{d}{dx}\int_{a}^{h(x)}f(t)\,dt = f\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 3

No caso, f(t)=\operatorname{sec}(t) e h(x)=x^{4}. Logo, aplicando a fórmula temos
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^{4}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^{4}) =\operatorname{sec}\bigl(x^{4}\bigr)\cdot4x^{3}.

Resposta

G'(x)=4x^{3}\operatorname{sec}\bigl(x^{4}\bigr).

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