Uma usina hidroelétrica tem uma diferença de cotas entre os níveis de montante e de jusante de H=50 m e uma vazão Q=5 m^3 / s de água pela turbina. O eixo da turbina gira a 130 rpm e o conjugado nele medido vale T=1,16 times 10^5 Nm. A potência fornecida pelo gerador é de 2100 kW. Determinar:
d) O rendimento da turbina e do gerador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma usina hidroelétrica que trabalha com uma diferença de altura (ou cota) de H = 50, m entre o monte e a jusante, e uma vazão de água de Q = 5, m^3/s. O eixo da turbina gira a 130, rpm com um conjugado de T = 1,16 times 10^5, Nm. A potência fornecida pelo gerador é de 2100, kW. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o rendimento (eficiência) da turbina e do gerador. Para isso, vamos precisar usar conceitos de potência hidráulica, potência mecânica e eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência hidráulica ( PH), que é a quantidade de energia fornecida pela água em movimento. A fórmula para isso é:
PH = rho cdot g cdot H cdot Q
Onde:
  • rho é a densidade da água ( approx 1000, kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81, m/s^2),
  • H é a altura da queda ( 50, m),
  • Q é a vazão ( 5, m^3/s).
Substituindo os valores:
PH = 1000 cdot 9,81 cdot 50 cdot 5 = 2,4525 times 10^6, W ou 2452,5, kW

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência mecânica ( PM) que a turbina está fornecendo. Para isso, usamos a fórmula:
PM = T cdot omega
Onde:
  • T é o conjugado ( 1,16 times 10^5, Nm),
  • omega é a velocidade angular em rad/s.
Primeiro, precisamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo. A fórmula é:
omega = 2pi cdot rpm60
Substituindo:
omega = 2pi cdot 13060 approx 13,615, rad/s
Agora, calculamos PM:
PM = 1,16 times 10^5 cdot 13,615 approx 1,577 times 10^6, W ou 1577, kW

Passo 4

Com a potência mecânica da turbina calculada, podemos encontrar o rendimento da turbina ( etaturbina). A eficiência é a relação entre a potência mecânica de saída e a potência hidráulica de entrada:
etaturbina = PMPH
Substituindo os valores:
etaturbina = 15772452,5 approx 0,643 ou 64,3%

Passo 5

Agora, vamos calcular o rendimento do gerador ( eta>=rador). Sabemos que a potência elétrica fornecida pelo gerador é de 2100, kW e que a potência mecânica que sai da turbina é de 1577, kW. A eficiência do gerador é dada por:
eta>=rador = PelétricaPM é
Substituindo:
eta>=rador = 21001577 approx 1,334 ou 133,4%
Isso indica que houve algum erro nos dados fornecidos ou nos cálculos, já que a eficiência não pode ser maior que 100%. É importante revisar os valores ou as fórmulas utilizadas.

Resposta

O rendimento da turbina é de aproximadamente 64,3% e o rendimento do gerador é de cerca de 133,4%. No entanto, como a eficiência do gerador não pode exceder 100%, é necessário verificar os dados ou cálculos para identificar possíveis erros.

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