Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas denominadas A1, A2 e A3. Elas produzem, respectivamente, 27 %, 17 % e 56 % do total. As probabilidades das fábricas A1, A2 e A3 produzirem peças defeituosas são: 0,10,0,12 e 0,26, respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto de peças produzidas. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Qual a probabilidade de que a peça escolhida tenha sido produzida pela fábrica A1, dado que ela seja defeituosa?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma empresa que fabrica rádios em três fábricas diferentes: A1, A2 e A3. Cada fábrica produz uma porcentagem diferente do total de peças: 27% pela A1, 17% pela A2 e 56% pela A3. Sabemos também as taxas de defeito de cada fábrica: 10% para A1, 12% para A2 e 26% para A3.
O que precisamos descobrir é: qual a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha vindo da fábrica A1?
Para resolver isso, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso é feito somando a probabilidade de uma peça ser defeituosa em cada fábrica, ponderada pela participação de cada fábrica na produção total.
A fórmula fica assim:
P(D) = P(D|A1) times P(A1) + P(D|A2) times P(A2) + P(D|A3) times P(A3)
Substituindo os valores:
P(D) = 0,10 times 0,27 + 0,12 times 0,17 + 0,26 times 0,56
P(D) = 0,027 + 0,0204 + 0,1456 = 0,193
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 0,193.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de a peça defeituosa ter vindo da fábrica A1. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A1|D) = P(D|A1) times P(A1)P(D)
Já temos todos os valores:
P(A1|D) = 0,10 times 0,270,193
P(A1|D) = 0,0270,193 approx 0,1398

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido produzida pela fábrica A1 é aproximadamente 0,1398.

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