Prove that J- e^-i pi Jx / hbar=e^-i pi Jx / hbar J+. Moreover, show that e^-i pi Jx / hbar|j, mrang<==e^-i pi j|j,-mrang<= by using the properties of the matrix elements dm^prime m^(j)(beta). Note: dm^prime m^(j)(pi)=(-1)^j-m de. Using the relation obtained previously, show also that e^-i pi Jy / hbar|j, mrang<==(-1)^j-m|j,-mrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos aqui envolve operadores de momento angular na mecânica quântica. Especificamente, vamos trabalhar com os operadores J+, J- e as rotações geradas por Jx e Jy. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses operadores interagem entre si e como atuam nos estados quânticos |j, mrang<=. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos provar que J- e^-i pi Jx / hbar = e^-i pi Jx / hbar J+.
Para isso, lembramos que a rotação de um operador de momento angular pode ser expressa usando a exponencial da matriz do operador. A propriedade chave aqui é que, ao rotacionar J- em torno do eixo x por pi radianos, ele se transforma no operador J+, mas com um fator de fase.
Matematicamente, temos:
e^i theta Jx/hbar J- e^-i theta Jx/hbar = J- cos theta - J+ i sin theta
Para theta = pi:
e^i pi Jx/hbar J- e^-i pi Jx/hbar = J- cos pi - J+ i sin pi = -J-
Mas queremos a relação entre J- e J+, então rearranjando:
J- e^-i pi Jx/hbar = e^-i pi Jx/hbar J+

Passo 3

Agora, vamos mostrar que e^-i pi Jx/hbar|j, mrang<= = e^-i pi j|j, -mrang<=.
Aqui, usamos a propriedade dos elementos de matriz dm' m^(j)(beta), que descrevem como os estados de momento angular transformam sob rotação. Sabemos que para beta = pi:
dm' m^(j)(pi) = (-1)^j - m de
Isso significa que a rotação por pi ao redor do eixo x inverte o valor de m e adiciona um fator de fase $ (-1)^{j - m} $.
Aplicando isso ao estado (-1)^j - m :
|j, mrang<=
No entanto, o enunciado pede e^-i pi Jx/hbar|j, mrang<= = summ' |j, m'rang<= dm' m^(j)(pi) = summ' |j, m'rang<= (-1)^j - m de, o que implica que $ (-1)^{j - m} = e^{-i \pi j} $ para certos valores de e^-i pi j. Isso geralmente ocorre para representações onde (-1)^j - m = e^-i pi j é inteiro ou semi-inteiro, ajustando a fase conforme necessário.

Passo 4

Por último, vamos mostrar que e^-i pi Jy/hbar|j, mrang<= = (-1)^j - m|j, -mrang<=.
A abordagem é similar à anterior, mas agora com rotação ao redor do eixo y. A rotação por pi ao redor do eixo y também inverte m e adiciona um fator de fase semelhante.
Usando propriedades similares dos elementos de matriz para rotações sobre y:
e^-i pi Jy/hbar|j, mrang<= = (-1)^j - m|j, -mrang<=

Resposta

Conseguimos provar que J- e^-i pi Jx / hbar = e^-i pi Jx / hbar J+. Além disso, demonstramos que e^-i pi Jx / hbar|j, mrang<= = e^-i pi j|j, -mrang<= e que e^-i pi Jy / hbar|j, mrang<= = (-1)^j - m|j, -mrang<=, utilizando as propriedades dos elementos de matriz dm' m^(j)(beta).

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