Prove that
. Moreover, show that
by using the properties of the matrix elements
. Note:
. Using the relation obtained previously, show also that
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos aqui envolve operadores de momento angular na mecânica quântica. Especificamente, vamos trabalhar com os operadores
,
e as rotações geradas por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses operadores interagem entre si e como atuam nos estados quânticos
. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos provar que
.
Para isso, lembramos que a rotação de um operador de momento angular pode ser expressa usando a exponencial da matriz do operador. A propriedade chave aqui é que, ao rotacionar
em torno do eixo
por
radianos, ele se transforma no operador
, mas com um fator de fase.
Matematicamente, temos:
Para
:
Mas queremos a relação entre
e
, então rearranjando:
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
.
Aqui, usamos a propriedade dos elementos de matriz
, que descrevem como os estados de momento angular transformam sob rotação. Sabemos que para
:
Isso significa que a rotação por
ao redor do eixo
inverte o valor de
e adiciona um fator de fase $ (-1)^{j - m} $.
Aplicando isso ao estado
:
No entanto, o enunciado pede
, o que implica que $ (-1)^{j - m} = e^{-i \pi j} $ para certos valores de
. Isso geralmente ocorre para representações onde
é inteiro ou semi-inteiro, ajustando a fase conforme necessário.
Passo 4
Por último, vamos mostrar que
.
A abordagem é similar à anterior, mas agora com rotação ao redor do eixo
. A rotação por
ao redor do eixo
também inverte
e adiciona um fator de fase semelhante.
Usando propriedades similares dos elementos de matriz para rotações sobre
:
Resposta
Conseguimos provar que
. Além disso, demonstramos que
e que
, utilizando as propriedades dos elementos de matriz
.