Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{\sin z}{z^{n}} d z.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o integral complexo
\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{z^{n}}\,dz,
isto é, a integral ao longo do círculo centrado em 0 e de raio 2 da função \dfrac{\sin z}{z^n}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O caminho de integração é a circunferência |z|=2, que contém o ponto z=0 no interior.
  • A função \sin z é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).
  • O integrando tem possível singularidade em z=0 dependendo de n: se n\ge 1 há uma singularidade do tipo polo de ordem n em 0; se n\le 0 o integrando é inteiro (polinômio vezes \sin z).
  • O enunciado não fixa que tipo de número é n, mas a formulação padrão considera n inteiro. Vou tratar os casos n\ge 1 e n\le 0.

Passo 2

Ferramenta principal: fórmula integral de Cauchy para derivadas (forma generalizada). Vou escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
f^{(m)}(a)=\frac{m!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{m+1}}\,dz.
Aqui:
  • f é função analítica numa vizinhança do ponto a e no interior da curva fechada simples \gamma.
  • f^{(m)}(a) é a m-ésima derivada de f em a.
  • m é um inteiro não negativo.
  • A curva \gamma é orientada positivamente (contra-horário).
    Dessa fórmula segue imediatamente que, reescrevendo,
\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{m+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{m!}\,f^{(m)}(a).
Vou aplicar essa identidade com a=0 e f(z)=\sin z.

Passo 3

Aplicação ao nosso integral quando n\ge 1.
Identificação das quantidades:
  • No integrando temos \dfrac{\sin z}{z^{n}}=\dfrac{f(z)}{(z-0)^{n}}.
  • Compare com a fórmula: o denominador tem potência m+1. Então colocamos m+1=n, isto é, m=n-1.
  • Como \sin z é analítica em toda a região contendo o círculo |z|=2 e seu interior, a fórmula é aplicável para m=n-1 (desde que n-1\ge 0, ou seja, n\ge 1).
Pela fórmula,
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{n}}\,dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}\, \sin^{(n-1)}(0),\qquad n\ge 1,
onde \sin^{(n-1)}(0) é a (n-1)-ésima derivada de \sin z avaliada em 0.

Passo 4

Caso n\le 0.
Se n\le 0 então z^{-n}=z^{|n|} é um polinômio, logo \dfrac{\sin z}{z^{n}}=\sin z\cdot z^{|n|} é função inteira (analítica em todo \mathbb{C}). Uma função analítica numa região que contém a curva fechada e seu interior tem integral nula (teorema de Cauchy). Portanto,
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{n}}\,dz=0,\qquad n\le 0.

Passo 5

Cálculo de [\sin^{(k)}(0)) (a (k)-ésima derivada de \sin z em 0).
A derivada de \sin z segue ciclo de período 4:
\begin{aligned} \sin^{(0)}(z)&=\sin z,\\\ \sin^{(1)}(z)&=\cos z,\\\ \sin^{(2)}(z)&=-\sin z,\\\ \sin^{(3)}(z)&=-\cos z,\\\ \sin^{(4)}(z)&=\sin z, \end{aligned}
então os valores em z=0 ficam (avaliando em 0):
\sin^{(k)}(0)= \begin{cases} 0, & \text{se }k\equiv 0\pmod{2}\\ (\text{ou seja }k\equiv 0 \text{ ou }2\pmod{4}),\\[4pt] 1, & \text{se }k\equiv 1\pmod{4},\\[4pt] -1, & \text{se }k\equiv 3\pmod{4}. \end{cases}
Mais explicitamente, para k=n-1\]: - Se \(n-1\equiv 1\pmod{4} (ou seja n\equiv 2\pmod{4}), então \sin^{(n-1)}(0)=1.
- Se n-1\equiv 3\pmod{4} (ou seja n\equiv 0\pmod{4}), então \sin^{(n-1)}(0)=-1.
- Se n-1\equiv 0 ou 2\pmod{4} (ou seja n\equiv 1 ou 3\pmod{4}), então \sin^{(n-1)}(0)=0.]

Passo 6

Juntando tudo: expressão geral e casos especiais.
Para n\ge 1 temos, pela Passo 3,
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{n}}\,dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}\,\sin^{(n-1)}(0).
Usando o ciclo de derivadas obtido no Passo 5, isso dá o resultado explícito por classes módulo 4:
  • Se n\le 0, o integral é 0.
  • Se n\ge 1 e n\equiv 2\pmod{4}, então \sin^{(n-1)}(0)=1 e
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{n}}\,dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}.
  • Se n\ge 1 e n\equiv 0\pmod{4}, então \sin^{(n-1)}(0)=-1 e
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{n}}\,dz=-\frac{2\pi i}{(n-1)!}.
  • Se n\ge 1 e n\equiv 1\pmod{4} ou n\equiv 3\pmod{4}, então \sin^{(n-1)}(0)=0 e o integral é 0.

Resposta

\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^{n}}\,dz= \begin{cases} 0, & n\le 0,\\[6pt] \dfrac{2\pi i}{(n-1)!}, & n\ge 1\text{ e }n\equiv 2\pmod{4},\\[8pt] -\dfrac{2\pi i}{(n-1)!}, & n\ge 1\text{ e }n\equiv 0\pmod{4},\\[6pt] 0, & n\ge 1\text{ e }(n\equiv 1\text{ ou }3\pmod{4}). \end{cases}]

Exercícios relacionados