Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 : \oint \frac{\sin z}{z^{n}} d z.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o integral complexo
\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{z^{n}}\,dz,
isto é, a integral ao longo do círculo centrado em 0 e de raio 2 da função \dfrac{\sin z}{z^n}.
Informações dadas e observações imediatas:
O caminho de integração é a circunferência |z|=2, que contém o ponto z=0 no interior.
A função \sin z é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).
O integrando tem possível singularidade em z=0 dependendo de n: se n\ge 1 há uma singularidade do tipo polo de ordem n em 0; se n\le 0 o integrando é inteiro (polinômio vezes \sin z).
O enunciado não fixa que tipo de número é n, mas a formulação padrão considera n inteiro. Vou tratar os casos n\ge 1 e n\le 0.
Passo 2
Ferramenta principal: fórmula integral de Cauchy para derivadas (forma generalizada). Vou escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
Vou aplicar essa identidade com a=0 e f(z)=\sin z.
Passo 3
Aplicação ao nosso integral quando n\ge 1.
Identificação das quantidades:
No integrando temos \dfrac{\sin z}{z^{n}}=\dfrac{f(z)}{(z-0)^{n}}.
Compare com a fórmula: o denominador tem potência m+1. Então colocamos m+1=n, isto é, m=n-1.
Como \sin z é analítica em toda a região contendo o círculo |z|=2 e seu interior, a fórmula é aplicável para m=n-1 (desde que n-1\ge 0, ou seja, n\ge 1).
onde \sin^{(n-1)}(0) é a (n-1)-ésima derivada de \sin z avaliada em 0.
Passo 4
Caso n\le 0.
Se n\le 0 então z^{-n}=z^{|n|} é um polinômio, logo \dfrac{\sin z}{z^{n}}=\sin z\cdot z^{|n|} é função inteira (analítica em todo \mathbb{C}). Uma função analítica numa região que contém a curva fechada e seu interior tem integral nula (teorema de Cauchy). Portanto,
Mais explicitamente, para k=n-1\]:
- Se \(n-1\equiv 1\pmod{4} (ou seja n\equiv 2\pmod{4}), então \sin^{(n-1)}(0)=1.
- Se n-1\equiv 3\pmod{4} (ou seja n\equiv 0\pmod{4}), então \sin^{(n-1)}(0)=-1.
- Se n-1\equiv 0 ou 2\pmod{4} (ou seja n\equiv 1 ou 3\pmod{4}), então \sin^{(n-1)}(0)=0.]