Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle
:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ao redor do círculo
. A informação importante que temos é que a função integranda é
. Note que essa função é analítica para todo
exceto em
, onde há uma singularidade (pois o denominador é zero). O ponto
está dentro do círculo
. Assumo a orientação positiva (contra‑horária) do contorno, que é o padrão nestes problemas.
Passo 2
Vou lembrar uma ferramenta fundamental que será usada: a fórmula integral de Cauchy. Ela diz que, se
é analítica em uma região que contém um contorno fechado
e o interior de
, então, para qualquer ponto
dentro de
,
Aqui
é qualquer função analítica no interior e sobre
,
é um ponto interior, e a integral é tomada com orientação positiva. A fórmula é poderosa porque transforma uma integral de contorno numa avaliação simples de
em
.
Passo 3
Verifico que posso aplicar a fórmula de Cauchy: escolha
e
. A função
é inteira (analítica em todo
), logo é analítica no disco
. Assim as hipóteses da fórmula de Cauchy são satisfeitas. Aplicando com esses
e
, obtemos
Passo 4
Calculo
. Sabemos que
Portanto a integral vale
Passo 5
Como reforço didático, apresento um método alternativo equivalente usando séries e o conceito de resíduo. A série de Taylor (que é também a expansão de Laurent ao redor de
com termos de potência não negativa) para
é
Dividindo por
obtemos a expansão para
:
Na teoria de resíduos, o coeficiente do termo
nessa expansão é exatamente a
. Aqui esse coeficiente é
. Pelo teorema dos resíduos, a integral é
vezes esse resíduo, resultando novamente em
.
Passo 6
Resumo e incentivo rápido: aplicando diretamente a fórmula de Cauchy fica muito rápido — identificar
e
e avaliar
. Se você travar na prova, outra abordagem é lembrar da expansão em séries e ler o coeficiente de
. Ambas dão o mesmo resultado.