Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{\cos z}{z} d z,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=2} \frac{\cos z}{z}\,dz
ao redor do círculo |z|=2. A informação importante que temos é que a função integranda é \frac{\cos z}{z}. Note que essa função é analítica para todo z exceto em z=0, onde há uma singularidade (pois o denominador é zero). O ponto z=0 está dentro do círculo |z|=2. Assumo a orientação positiva (contra‑horária) do contorno, que é o padrão nestes problemas.

Passo 2

Vou lembrar uma ferramenta fundamental que será usada: a fórmula integral de Cauchy. Ela diz que, se f é analítica em uma região que contém um contorno fechado \Gamma e o interior de \Gamma, então, para qualquer ponto a dentro de \Gamma,
\oint_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, f(a).
Aqui f é qualquer função analítica no interior e sobre \Gamma, a é um ponto interior, e a integral é tomada com orientação positiva. A fórmula é poderosa porque transforma uma integral de contorno numa avaliação simples de f em a.

Passo 3

Verifico que posso aplicar a fórmula de Cauchy: escolha f(z)=\cos z e a=0. A função \cos z é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), logo é analítica no disco |z|\le 2. Assim as hipóteses da fórmula de Cauchy são satisfeitas. Aplicando com esses f e a, obtemos
\oint_{|z|=2} \frac{\cos z}{z}\,dz = 2\pi i\, \cos 0.

Passo 4

Calculo \cos 0. Sabemos que
\cos 0 = 1.
Portanto a integral vale
2\pi i \cdot 1 = 2\pi i.

Passo 5

Como reforço didático, apresento um método alternativo equivalente usando séries e o conceito de resíduo. A série de Taylor (que é também a expansão de Laurent ao redor de 0 com termos de potência não negativa) para \cos z é
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots.
Dividindo por z obtemos a expansão para \dfrac{\cos z}{z}:
\frac{\cos z}{z} = \frac{1}{z} - \frac{z}{2!} + \frac{z^3}{4!} - \cdots.
Na teoria de resíduos, o coeficiente do termo \dfrac{1}{z} nessa expansão é exatamente a \operatorname{Res}\big(\dfrac{\cos z}{z},0\big). Aqui esse coeficiente é 1. Pelo teorema dos resíduos, a integral é 2\pi i vezes esse resíduo, resultando novamente em 2\pi i.

Passo 6

Resumo e incentivo rápido: aplicando diretamente a fórmula de Cauchy fica muito rápido — identificar f(z)=\cos z e a=0 e avaliar f(0). Se você travar na prova, outra abordagem é lembrar da expansão em séries e ler o coeficiente de 1/z. Ambas dão o mesmo resultado.

Resposta

2\pi i

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