Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{\sin z}{z} d z,

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{z}\,dz,
onde a integração é feita ao longo do círculo |z|=2. Informação relevante dada pelo enunciado: o integrando é \dfrac{\sin z}{z} e o ponto z=0 pertence ao interior do círculo |z|=2 (pois 0 tem módulo 0<2).

Passo 2

Vamos verificar as hipóteses que permitem usar uma ferramenta poderosa: a Fórmula Integral de Cauchy. Primeiro, note que a função \sin z é inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo. Portanto existe uma função f analítica no disco |z| \le 2 definida por f(z)=\sin z. O integrando pode ser escrito como
\frac{\sin z}{z}=\frac{f(z)}{z-0},
isto é, na forma f(z)/(z-a) com a=0. As hipóteses da Fórmula de Cauchy (função analítica no interior e na fronteira da curva simples fechada, e ponto a interior) estão satisfeitas.

Passo 3

Agora eu te explico a Fórmula Integral de Cauchy de forma direta e intuitiva: se f é analítica numa vizinhança fechada de uma curva simples fechada \gamma e a é um ponto no interior de \gamma, então
\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, f(a).
Aqui f(a) é simplesmente o valor da função analítica no ponto a. A constante 2\pi i vem da topologia do círculo e da orientação positiva (horária padrão contrária — usualmente positiva é sentido anti-horário).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: tome f(z)=\sin z e a=0. Pela fórmula de Cauchy,
\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z}\,dz = 2\pi i\,\sin(0).
Calcule \sin(0): \sin(0)=0. Portanto o produto é 2\pi i\cdot 0.

Passo 5

Conclusão direta: o integral é zero. Para reforçar a intuição, veja uma alternativa rápida usando desenvolvimento em série (que é a mesma ideia por trás da fórmula): \sin z = z - \tfrac{z^3}{3!} + \tfrac{z^5}{5!}-\cdots. Dividindo por z
\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!}-\cdots,
que é uma série em potências inteiras de z sem termo 1/z. Assim o coeficiente de 1/z na expansão de Laurent (a chamada resíduo) é 0, e pelo Teorema dos Resíduos o integral é 2\pi i vezes esse resíduo, ou seja 0.

Resposta

\;0

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