Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle
:
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral de linha
onde a integração é feita ao longo do círculo
. Informação relevante dada pelo enunciado: o integrando é
e o ponto
pertence ao interior do círculo
(pois
tem módulo
).
Passo 2
Vamos verificar as hipóteses que permitem usar uma ferramenta poderosa: a Fórmula Integral de Cauchy. Primeiro, note que a função
é inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo. Portanto existe uma função
analítica no disco
definida por
. O integrando pode ser escrito como
isto é, na forma
com
. As hipóteses da Fórmula de Cauchy (função analítica no interior e na fronteira da curva simples fechada, e ponto
interior) estão satisfeitas.
Passo 3
Agora eu te explico a Fórmula Integral de Cauchy de forma direta e intuitiva: se
é analítica numa vizinhança fechada de uma curva simples fechada
e
é um ponto no interior de
, então
Aqui
é simplesmente o valor da função analítica no ponto
. A constante
vem da topologia do círculo e da orientação positiva (horária padrão contrária — usualmente positiva é sentido anti-horário).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso: tome
e
. Pela fórmula de Cauchy,
Calcule
:
. Portanto o produto é
.
Passo 5
Conclusão direta: o integral é zero. Para reforçar a intuição, veja uma alternativa rápida usando desenvolvimento em série (que é a mesma ideia por trás da fórmula):
. Dividindo por
dá
que é uma série em potências inteiras de
sem termo
. Assim o coeficiente de
na expansão de Laurent (a chamada resíduo) é
, e pelo Teorema dos Resíduos o integral é
vezes esse resíduo, ou seja
.