Using the Mean Value Theorem, find where the instantaneous rate of change is equivalent to the average rate of change.
y=x^{2}-5 x+2 on [-4,-2]
\frac{(16+20-2)-(4+10+2)}{-6} \rightarrow \frac{34-16}{-6} \rightarrow \frac{18}{-6} \rightarrow-3
y^{\prime}=2 x-5
ff 2 x-5=-3
\begin{aligned} 2 x & =2 \\\ x & =1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}-5x+2 no intervalo [-4,-2] e pede: encontrar o(s) ponto(s) onde a taxa de variação instantânea coincide com a taxa média de variação no intervalo. Informações relevantes: a função y(x)=x^{2}-5x+2, o intervalo [a,b]=[-4,-2]. A tarefa é achar c\in(-4,-2) tal que a derivada em c seja igual à taxa média \dfrac{y(b)-y(a)}{b-a}.

Passo 2

Vou usar o enunciado do Teorema do Valor Médio (MVT). O teorema diz: se uma função f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aqui f'\text{(c)} é a taxa de variação instantânea (derivada) em c e \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} é a taxa média entre a e b. Vou aplicar essa igualdade à nossa função y.

Passo 3

Verificação das hipóteses do MVT: y(x)=x^{2}-5x+2 é um polinômio. Polinômios são contínuos em toda a reta e diferenciáveis em toda a reta; logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas no intervalo [-4,-2]. Portanto existe ao menos um c\in(-4,-2) que satisfaz a igualdade do MVT.

Passo 4

Calcular y(a) com a=-4. Detalhando as operações:
y(-4)=(-4)^{2}-5(-4)+2.
Agora computa cada termo: (-4)^{2}=16, -5(-4)=20, e mais 2. Somando:
y(-4)=16+20+2=38.

Passo 5

Calcular y(b) com b=-2. Detalhando:
y(-2)=(-2)^{2}-5(-2)+2.
Compute os termos: (-2)^{2}=4, -5(-2)=10, soma com 2:
y(-2)=4+10+2=16.

Passo 6

Calcular a taxa média \dfrac{y(b)-y(a)}{b-a} usando a=-4 e b=-2. Substituindo os valores encontrados:
\frac{y(-2)-y(-4)}{-2-(-4)}=\frac{16-38}{-2+4}=\frac{-22}{2}=-11.
Portanto a taxa média no intervalo é -11.

Passo 7

Calcular a derivada (taxa instantânea) da função y. Para polinômios aplicamos regra simples termo a termo: a derivada de x^{2} é 2x, a derivada de -5x é -5, e a derivada de constante 2 é 0. Assim
y'(x)=2x-5.
Expliquei: y'(x) significa a variação instantânea de y por unidade de x.

Passo 8

Aplicar o MVT igualando a derivada à taxa média encontrada. Temos que resolver
2x-5=-11.
Resolver passo a passo: some 5 em ambos os lados,
2x=-11+5=-6.
Divida por 2:
x=\frac{-6}{2}=-3.

Passo 9

Verificar que a solução x=-3 está dentro do intervalo aberto (-4,-2), como exige o MVT. De fato -4<-3<-2, então x=-3 é um ponto válido. Também podemos checar que a derivada em -3 é
y'(-3)=2(-3)-5=-6-5=-11,
que coincide com a taxa média que calculamos, confirmando a resposta.

Passo 10

Dica prática para a prova: lembre-se sempre de calcular corretamente y(a) e y(b) com atenção aos sinais; depois faça \dfrac{y(b)-y(a)}{b-a} e resolva y'(x)= essa razão. Para polinômios de grau 2 as contas são rápidas e cabem bem num tempo curto. Força — você consegue!

Resposta

x=-3

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