Using the Mean Value Theorem, find where the instantaneous rate of change is equivalent to the average rate of change.
on
ff
ff
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede: encontrar o(s) ponto(s) onde a taxa de variação instantânea coincide com a taxa média de variação no intervalo. Informações relevantes: a função
, o intervalo
. A tarefa é achar
tal que a derivada em
seja igual à taxa média
.
Passo 2
Vou usar o enunciado do Teorema do Valor Médio (MVT). O teorema diz: se uma função
é contínua em
e diferenciável em
, então existe pelo menos um
tal que
Aqui
é a taxa de variação instantânea (derivada) em
e
é a taxa média entre
e
. Vou aplicar essa igualdade à nossa função
.
Passo 3
Verificação das hipóteses do MVT:
é um polinômio. Polinômios são contínuos em toda a reta e diferenciáveis em toda a reta; logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas no intervalo
. Portanto existe ao menos um
que satisfaz a igualdade do MVT.
Passo 4
Calcular
com
. Detalhando as operações:
Agora computa cada termo:
,
, e mais
. Somando:
Passo 5
Calcular
com
. Detalhando:
Compute os termos:
,
, soma com
:
Passo 6
Calcular a taxa média
usando
e
. Substituindo os valores encontrados:
Portanto a taxa média no intervalo é
.
Passo 7
Calcular a derivada (taxa instantânea) da função
. Para polinômios aplicamos regra simples termo a termo: a derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de constante
é
. Assim
Expliquei:
significa a variação instantânea de
por unidade de
.
Passo 8
Aplicar o MVT igualando a derivada à taxa média encontrada. Temos que resolver
Resolver passo a passo: some
em ambos os lados,
Divida por
:
Passo 9
Verificar que a solução
está dentro do intervalo aberto
, como exige o MVT. De fato
, então
é um ponto válido. Também podemos checar que a derivada em
é
que coincide com a taxa média que calculamos, confirmando a resposta.
Passo 10
Dica prática para a prova: lembre-se sempre de calcular corretamente
e
com atenção aos sinais; depois faça
e resolva
essa razão. Para polinômios de grau 2 as contas são rápidas e cabem bem num tempo curto. Força — você consegue!