1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(b) \log _{2} \frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{4}\right). Ou seja, encontrar o número que, como expoente de 2, produz \tfrac{1}{4}.

Passo 2

Lembrando o significado do logaritmo: \log_{a}(b)=x significa que a^{x}=b. Aplicando isso ao nosso caso, estamos procurando x tal que
2^{x}=\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Uma técnica prática é escrever o número alvo \tfrac{1}{4} como potência de 2. Observando potências de 2:
2^{1}=2,\qquad 2^{2}=4.
Daí \tfrac{1}{4} é o inverso de 4, ou seja:
\tfrac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}.

Passo 4

Usamos a propriedade de potências que diz \dfrac{1}{2^{2}}=2^{-2}. Assim podemos reescrever:
\tfrac{1}{4}=2^{-2}.

Passo 5

Voltando à definição do logaritmo: se 2^{x}=2^{-2} então, por unicidade das potências de mesma base, x=-2. Ou usando a propriedade do logaritmo \log_{a}(a^{k})=k, temos
\log_{2}\!\left(2^{-2}\right)=-2.

Passo 6

Verificação rápida: 2^{-2}=\tfrac{1}{2^{2}}=\tfrac{1}{4}, portanto o resultado está coerente.

Resposta

-2

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