- Encontre as soluções das equações abaixo.
(e)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação
Informações relevantes fornecidas: a base da potência é
(número real positivo e diferente de
) e a incógnita é
. O objetivo é achar todos os valores de
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Observação útil (fato que vamos usar): para uma base positiva diferente de
a função exponencial
é injetora — isto é, se
então necessariamente
. Vou justificar esse fato de forma simples e prática para a prova:
Justificativa curta: suponha
. Dividindo os dois lados por
(que é não nulo) obtém-se
Como
ocorre somente quando
, segue que
, logo
. Portanto podemos igualar os expoentes.
Passo 3
Aplicando o fato anterior à nossa equação, como
e a base é
(positiva e diferente de
), podemos concluir que os expoentes são iguais:
Passo 4
Agora resolvemos a equação algébrica
. Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando o polinômio do lado esquerdo:
Passo 5
Pelo princípio do produto nulo, para que
seja verdade é preciso que
ou
. Assim obtemos as soluções
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom na prova): substituir cada solução na equação original.
- Para
: está certo. - Para
: está certo.
Passo 7
Método alternativo (útil saber): poderia também aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Fazendo
em
dá
Como
pode-se dividir por
e obter novamente
, que conduz às mesmas soluções. Dica de prova: essa alternativa é especialmente prática quando as bases não aparecem iguais, mas aqui como as bases coincidem a igualdade direta dos expoentes é a forma mais rápida.