1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(e) 2^{x^{2}}=2^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação
2^{x^{2}}=2^{x}.
Informações relevantes fornecidas: a base da potência é 2 (número real positivo e diferente de 1) e a incógnita é x. O objetivo é achar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Observação útil (fato que vamos usar): para uma base positiva diferente de 1 a função exponencial t\mapsto 2^t é injetora — isto é, se 2^{a}=2^{b} então necessariamente a=b. Vou justificar esse fato de forma simples e prática para a prova:
Justificativa curta: suponha 2^{a}=2^{b}. Dividindo os dois lados por 2^{b} (que é não nulo) obtém-se
2^{a-b}=1.
Como 2^{y}=1 ocorre somente quando y=0, segue que a-b=0, logo a=b. Portanto podemos igualar os expoentes.

Passo 3

Aplicando o fato anterior à nossa equação, como 2^{x^{2}}=2^{x} e a base é 2 (positiva e diferente de 1), podemos concluir que os expoentes são iguais:
x^{2}=x.

Passo 4

Agora resolvemos a equação algébrica x^{2}=x. Subtraindo x dos dois lados:
x^{2}-x=0.
Fatorando o polinômio do lado esquerdo:
x(x-1)=0.

Passo 5

Pelo princípio do produto nulo, para que x(x-1)=0 seja verdade é preciso que x=0 ou x-1=0. Assim obtemos as soluções
x=0\quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom na prova): substituir cada solução na equação original.
  • Para x=0: 2^{0^{2}}=2^{0}\Rightarrow 2^{0}=2^{0}\Rightarrow 1=1 está certo.
  • Para x=1: 2^{1^{2}}=2^{1}\Rightarrow 2^{1}=2^{1}\Rightarrow 2=2 está certo.

Passo 7

Método alternativo (útil saber): poderia também aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Fazendo \ln em \,2^{x^{2}}=2^{x}\,
x^{2}\ln 2 = x\ln 2.
Como \ln 2>0 pode-se dividir por \ln 2 e obter novamente x^{2}=x, que conduz às mesmas soluções. Dica de prova: essa alternativa é especialmente prática quando as bases não aparecem iguais, mas aqui como as bases coincidem a igualdade direta dos expoentes é a forma mais rápida.

Resposta

x=0
x=1

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