1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(c) \log _{\frac{1}{3}} 9

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \log_{\frac{1}{3}} 9 sem calculadora.
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é \dfrac{1}{3};
  • o argumento do logaritmo é 9.

Passo 2

Definição que vou usar: para números positivos a e b com a\neq 1, se
y=\log_a b
então, por definição de logaritmo,
a^{y}=b.
Aqui a é a base, b é o argumento e y é o valor do logaritmo (o expoente ao qual elevamos a para obter b).

Passo 3

Aplique a definição ao problema: seja
x=\log_{\frac{1}{3}} 9.
Pela definição, isso significa que
\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=9.

Passo 4

Reescrever base e argumento como potências de um mesmo número facilita. Observações básicas:
\frac{1}{3}=3^{-1}, \qquad 9=3^{2}.
A primeira vem da definição de potência negativa: 3^{-1}=1/3. A segunda vem de 9=3\cdot3=3^{2}.

Passo 5

Substituindo essas potências na equação obtida:
\left(3^{-1}\right)^{x}=3^{2}.
Usando a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{mn} (onde a é a base e m,n são expoentes), a esquerda vira
3^{-1\cdot x}=3^{-x}.
Logo a equação fica
3^{-x}=3^{2}.

Passo 6

Agora usamos a regra: se a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq 1, então u=v. Aplicando aqui (a base é 3, que satisfaz as condições), obtemos
- x = 2.
Resolvendo para x,
x = -2.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}. Pelo fato de potência negativa inverter a base,
\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^{2} = 9,
o que confirma que \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2.

Resposta

-2

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