1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(f) 5^{3+x}=\frac{1}{125}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções da equação
5^{3+x}=\frac{1}{125}.
Informações dadas e dados úteis imediatos:
  • A base do expoente é 5.
  • O expoente do lado esquerdo é 3+x.
  • O lado direito é \dfrac{1}{125}.
  • Observação útil (retirada do número 125): 125=5^{3}.

Passo 2

Relembrando propriedades de potências que vamos usar (explicadinhas):
  • Para qualquer base a>0 (com a\neq1) e expoentes u,v vale a propriedade de cancelamento: se a^{u}=a^{v} então u=v. Isso acontece porque a função a^{t} é injetora nessas condições (cada expoente dá um único valor).
  • Também é útil lembrar que \dfrac{1}{a^{k}}=a^{-k} para qualquer inteiro k. Ou seja, expoente negativo corresponde a inverso da potência positiva.

Passo 3

Transformar o lado direito em potência de 5, usando que 125=5^{3}:
\frac{1}{125}=\frac{1}{5^{3}}=5^{-3}.

Passo 4

Agora a equação fica entre potências com a mesma base 5:
5^{3+x}=5^{-3}.
Pelo argumento de injetividade da função exponencial (ou pela propriedade indicada), os expoentes devem ser iguais. Assim:
3+x=-3.

Passo 5

Resolver a equação linear para x. Subtraindo 3 de ambos os lados:
x=-3-3=-6.

Passo 6

Verificação substituindo x=-6 na equação original:
5^{3+(-6)}=5^{-3}=\frac{1}{5^{3}}=\frac{1}{125},
que é exatamente o lado direito. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Método alternativo rápido (opcional): aplicar \log_{5} em ambos os lados:
3+x=\log_{5}\!\left(\tfrac{1}{125}\right)=\log_{5}(5^{-3})=-3,
resultando em x=-6, mesmo resultado.

Resposta

x=-6

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