- Encontre as soluções das equações abaixo.
(f)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções da equação
Informações dadas e dados úteis imediatos:
- A base do expoente é
. - O expoente do lado esquerdo é
. - O lado direito é
. - Observação útil (retirada do número
): .
Passo 2
Relembrando propriedades de potências que vamos usar (explicadinhas):
- Para qualquer base
(com ) e expoentes vale a propriedade de cancelamento: se então . Isso acontece porque a função é injetora nessas condições (cada expoente dá um único valor). - Também é útil lembrar que
para qualquer inteiro . Ou seja, expoente negativo corresponde a inverso da potência positiva.
Passo 3
Transformar o lado direito em potência de
, usando que
:
Passo 4
Agora a equação fica entre potências com a mesma base
:
Pelo argumento de injetividade da função exponencial (ou pela propriedade indicada), os expoentes devem ser iguais. Assim:
Passo 5
Resolver a equação linear para
. Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Verificação substituindo
na equação original:
que é exatamente o lado direito. Portanto a solução está correta.
Passo 7
Método alternativo rápido (opcional): aplicar
em ambos os lados:
resultando em
, mesmo resultado.