1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(g) \log _{8} \frac{1}{4}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \log_{8}\!\left(\dfrac{1}{4}\right) sem calculadora.
Informações dadas:
  • A base do logaritmo é 8.
  • O argumento (o número cujo logaritmo queremos) é \dfrac{1}{4}.
  • Não usar calculadora.

Passo 2

Definição básica de logaritmo (a ferramenta que usamos): para a>0 e a\neq1, e para b>0, diz-se que
\log_{a} b = x \quad\Longleftrightarrow\quad a^{x}=b.
Ou seja, o logaritmo \log_{a} b é o número que devemos elevar a para obter b. Aqui a é a base, b é o argumento e x é o valor do logaritmo.

Passo 3

Regra de potências que vamos usar: para quaisquer números reais m e n,
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}.
Também: se a^{u}=a^{v} com a>0 e a\neq1, então u=v. Essas duas ideias juntas permitem comparar expoentes quando escrevemos ambos os lados com a mesma base.

Passo 4

Reconhecer potências de uma base comum (truque clássico sem calculadora): tanto 8 quanto \dfrac{1}{4} são potências de 2:
8 = 2^{3},\qquad \frac{1}{4}=2^{-2}.
(Escolhemos 2 porque 8 e 4 são potências de 2.)

Passo 5

Aplicar a definição do logaritmo. Seja
\log_{8}\!\left(\frac{1}{4}\right)=x.
Pela definição isso equivale a
8^{x}=\frac{1}{4}.
Substituindo as expressões em base 2 (do Passo 4):
\left(2^{3}\right)^{x}=2^{-2}.
Usando \left(2^{3}\right)^{x}=2^{3x}, obtemos
2^{3x}=2^{-2}.
Como as bases são iguais e diferentes de 1, igualam-se os expoentes:
3x=-2.
Logo
x=\frac{-2}{3}.

Passo 6

Pequena checagem (para ganhar confiança): calcular 8^{-2/3}
8^{-2/3}=\left(2^{3}\right)^{-2/3}=2^{3\cdot(-2/3)}=2^{-2}=\frac{1}{4},
o que confirma que \log_{8}\!\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{2}{3}.

Resposta

-\dfrac{2}{3}

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