- Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(g)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor de
sem calculadora.
Informações dadas:
- A base do logaritmo é
. - O argumento (o número cujo logaritmo queremos) é
. - Não usar calculadora.
Passo 2
Definição básica de logaritmo (a ferramenta que usamos): para
e
, e para
, diz-se que
Ou seja, o logaritmo
é o número que devemos elevar
para obter
. Aqui
é a base,
é o argumento e
é o valor do logaritmo.
Passo 3
Regra de potências que vamos usar: para quaisquer números reais
e
,
Também: se
com
e
, então
. Essas duas ideias juntas permitem comparar expoentes quando escrevemos ambos os lados com a mesma base.
Passo 4
Reconhecer potências de uma base comum (truque clássico sem calculadora): tanto
quanto
são potências de
:
(Escolhemos
porque
e
são potências de
.)
Passo 5
Aplicar a definição do logaritmo. Seja
Pela definição isso equivale a
Substituindo as expressões em base
(do Passo 4):
Usando
, obtemos
Como as bases são iguais e diferentes de
, igualam-se os expoentes:
Logo
Passo 6
Pequena checagem (para ganhar confiança): calcular
o que confirma que
.